msleziak.com

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

aby vektori tvorili bazu, musia splnat 2 podmienky a to
1) musia byt LN
2) musia generovat cely priestor

a)$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
vidime ze tieto vektory splnaju obe podmienky, a to ze su LN a generuju cely priestor '$\mathbb Z_5^3$

b)$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
tu vidime ze nie je splnena prva podmienka, pretoze treti vektor je LK prvych dvoch

c) kedze tu mame 4 vektory, tak mozeme s istotou povedat ze to nebude baza, pretoze jeden z nich bude LK ostatnych

d) tu zasa nie je splnena druha podmienka, a to ze 2 vektory nemozu generovat cely priestor $\mathbb Z_5^3$

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Mám ale predsa jeden komentár k tomu, čo ste napísali ako zdôvodnenie.

MarekFedak wrote: aby vektory tvorili bazu, musia splnat 2 podmienky a to
1) musia byt LN
2) musia generovat cely priestor

V úlohe a) píšete:

MarekFedak wrote: vidime ze tieto vektory splnaju obe podmienky

V skutočnosti z týchto výpočtov vidíme, že dané vektory generujú celý priestor. (Vďaka tomu, že podpriestor určený riadkami matice sa nezmení pri elementárnych riadkových operáciách.)
Z vety z prednášky vieme, že ak máme tri vektory v priestore dimenzie 3 a ak generujú priestor, tak už musia byť aj lineárne nezávislé.

MarekFedak wrote: tu vidime ze nie je splnena prva podmienka, pretoze treti vektor je LK prvych dvoch

Opäť je podľa mňa správnejšie zdôvodnenie, že tieto vektory generujú iba dvojrozmerný podpriestor. (Aj keď z toho vyplýva ja lineárna závislosť, keďže máme tri vektory.)
Zo samotného redukovaného tvaru ešte nevieme povedať, že ktorý zo zadaných vektorov je kombináciou ostatných.

Starší post s tou istou úlohou: viewtopic.php?t=352