Uloha 6.4 overte ci je podpriestor
Posted: Sat Dec 12, 2015 1:21 pm
z prvej rovnice x+y+z+w=0 si mozeme vyjadrit x, x=-y-z-w, a z druhej rovnice si mozeme vyjadrit y, y=x+z-w, potom dosadit prvu rovnicu do druhejÚloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.
y=-y-z-w+z-w, z toho vide 2y=-2w a teda y=-w, to dosadime do prvej rovnice x=w+z-w, a teda x=-z
teraz si mozeme tento podpriestor vyjadrit ako $M=\{(-z,-w,z,w)\in\mathbb R^4; z,w\in\mathbb R\}$ (pricom je to ten isty, ako bol v zadani)
teraz vidime, ze kazdy vektor tvaru (-z,-w,z,w), mozeme zapisat ako z(-1,0,1,0)+w(0,-1,0,1), a teda ze $M=[(-1,0,1,0),(0,-1,0,1)]$ generuje tento podpriestor a taktiez hned vidime ze tieto 2 vektory su aj LN, tak mozme povedat ze tvoria bazu tohto podpriestoru