msleziak.com

Úloha 7.3. Zistite, aká je hodnosť danej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$

hned na zaciatku treba povedat, ze ani zmena poradie stlpcov nemeni hodnost
a)$\begin{pmatrix}
c&-c&-c\\
2&c+1&0\\
2&-c&-c
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
2&c+1&0\\
2&c+1&2+2c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
2&c+1&0\\
0&0&2+2c
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
2&c+1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
0&c+3&2\\
0&0&1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&c+3&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\overset{c\ne-3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$
kedze vidime ze tieto vektory tvoria bazu, dimenzia bude 3, a hodnost matice sa rovna dimenzii, takze ak $c\ne0,-1,-3$ tak hodnost matice bude 3.
teraz staci dosadit 0,-1,-3 a zistit aku hodnost ma matica v kazdom pripade

c=0 $\begin{pmatrix}
0&0&0\\
2&1&0\\
2&1&2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&0&0\\
2&1&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}$

c=-1 $\begin{pmatrix}
-1&1&1\\
2&0&0\\
2&0&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
-1&1&1\\
2&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}$

c=-3 $\begin{pmatrix}
-3&3&3\\
2&-2&0\\
2&-2&-4
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
1&-1&0\\
1&-1&-2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
0&0&1\\
0&0&-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}$

$h(A)=3$ $c\in\mathbb R$\{0,-1,-3}
$h(A)=2$ $c\in${0,-1,-3} (kedze vidime ze vo vsetkych troch pripadoch bol jeden vektor LK ostatnych)

b)$\begin{pmatrix}
2c+1&c&-c-1\\
1&c+1&c+1\\
2&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2&1&0\\
1&c+1&c+1\\
2c+1&c&-c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
c+1&1&c+1\\
c&2c+1&-c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
c+1&1&c+1\\
c&2c+1&-c-1
\end{pmatrix}\overset{c\ne0, c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&-2c-1&c+1\\
0&1&-c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&-2c-1&c+1\\
0&-2c&0
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&-2c-1&c+1\\
0&-2c&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&-2c-1&c+1\\
0&1&0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-\frac{1}{2}}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&c+1\\
0&1&0
\end{pmatrix}\overset{c\ne-1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}$

kedze vidime ze tieto vektory tvoria bazu, dimenzia bude 3, a hodnost matice sa rovna dimenzii, takze ak c≠0,−1,$−\frac{1}{2}$ tak hodnost matice bude 3.
teraz staci dosadit 0,-1,$-\frac{1}{2}$ a zistit aku hodnost ma matica v kazdom pripade

c=0 $\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
1&1&1\\
2&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&2\\
0&1&2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}$

c=-1 $\begin{pmatrix}
-1&-1&0\\
1&0&0\\
2&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&-1&0\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&0&0\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}$

c=$\frac{1}{2}$ $\begin{pmatrix}
0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
2&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
1&0&0\\
2&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}$

$h(A)=3$ $c\in\mathbb R$\{0,-1}
$h(A)=2$ $c\in${0,-1} (kedze vidime ze vo vsetkych troch pripadoch bol jeden vektor LK ostatnych)

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Tu je linka na staršie riešenie: viewtopic.php?t=366