Uloha 7.5 doplňte na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$
Posted: Sat Dec 12, 2015 1:22 pm
najprv si vektory dame do matice a upravime ju na RTM, potom bude lahko vidno, ktore z bazovych vektorov treba doplnit aby spolu so zvysnymi vektormi tvoril bazuÚloha 7.5. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$
a) $\begin{pmatrix}
1&2&1&0 \\
1&2&3&3 \\
2&1&2&3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&1&0 \\
0&0&2&3 \\
0&4&0&3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&1&0 \\
0&0&1&5 \\
0&1&0&6
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&1&2 \\
0&0&1&5 \\
0&1&0&6
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&0&4 \\
0&0&1&5 \\
0&1&0&6
\end{pmatrix}$
teraz vidime, ze najjednoduchsie je pridat vektor $(0,0,0,1)$ aby dane vektory tvorili bazu
b) $\begin{pmatrix}
1&2&5&3 \\
3&1&5&4 \\
3&4&4&0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&5&3 \\
0&2&4&2 \\
0&5&3&5
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&2&5&3 \\
0&1&2&1 \\
3&5&3&5
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1&0&1&1 \\
0&1&2&1 \\
0&0&0&0
\end{pmatrix}$
vidime, ze treti vektor je LK predoslich dvoch, takze ak chceme doplnit na bazu, musime doplnit 2 vektory, pricom z RTM lahko vidime ze to mozu byt $(0,0,1,0),(0,0,0,1)$