msleziak.com

Vo verziách A, B bola dôkazová úloha:$\newcommand{\Zobr}[3]{{#1\colon #2\to #3}}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Dokážte: Ak $\Zobr fVW$ je lineárne zobrazenie, ktoré je súčasne bijektívne, tak inverzné zobrazenie $\Zobr{\inv f}WV$ je tiež lineárne.

Dôkaz tohoto tvrdenia nájdete aj v LAG1 ako vetu 4.1.8. Tam je však uvedený tak, že sa odvoláva na veci dokázané už skôr o grupách. Skúsme ho tu napísať bez odvolávok na staršie veci. (T.j. tak, ako sme ho od vás čakali na písomke.)
Dá sa však povedať, že základná myšlienka je podobná ako v dôkaze analogického výsledku pre homomorfizmus grúp. (T.j. veta 1.5.12 v LAG1.)

Pripomeňme si najprv základné veci o inverzných zobrazeniach:

• Inverzné zobrazenie k zobrazenie $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (To je dôvod, prečo máme v predpokladoch, že $f$ je bijektívne.)
• Ak zobrazenie $\Zobr gWV$ je inverzné k $\Zobr fVW$, tak platí $g\circ f=id_V$ a $f\circ g=id_W$. Tieto dve podmienky sú dokonca ekvivalentné s tým, že $g$ je inverzné k $f$.
• Pre inverzné zobrazenia platí $\inv f(\vec y)=\vec x$ $\Leftrightarrow$ $f(\vec x)=\vec y$. (To zodpovedá tomu, že inverzné zobrazenia vlastne nerobí nič iné, ako to, že obracia šípky.)

Dôkaz
Nech $\Zobr fVW$ je lineárne zobrazenie, t.j. pre ľubovoľné vektory $\vec x_{1,2}\in V$ a ľubovoľný skalár $c$ platí
$$
\begin{align*}
f(\vec x_1+\vec x_2)&=f(\vec x_1)+f(\vec x_2)\\
f(c\vec x_1)&=cf(\vec x_1)
\end{align*}
$$

Chceme overiť, či podobné podmienky platia aj pre $\inv f$.

T.j. máme $\vec y_1,\vec y_2\in W$ a pýtame sa, či $\inv f(\vec y_1)+\inv f(\vec y_2)=\inv f(\vec y_1+\vec y_2)$.
Označme si
$\vec x_1:=\inv f(\vec y_1)$,
$\vec x_2:=\inv f(\vec y_2)$.
To znamená, že pre prvky $\vec x_{1,2}$ platí
$f(\vec x_1)=\vec y_1$,
$f(\vec x_2)=\vec y_2$.

Potom (z linearity zobrazenia $f$) dostávame
$$\vec y_1+\vec y_2=f(\vec x_1)+f(\vec x_2)=f(\vec x_1+\vec x_2).$$
Pretože zobrazenie $f$ zobrazí $\vec x_1+\vec x_2$ na $\vec y_1+\vec y_2$, pre inverzné zobrazenie platí
$$\inv f(\vec y_1+\vec y_2)=\vec x_1+\vec x_2.$$
Keď sa teraz pozrieme, aké vektory sme označili ako $\vec x_{1,2}$, tak sme vlastne dostali
$$\inv f(\vec y_1+\vec y_2)=\inv f(\vec y_1)+\inv f(\vec y_2).$$
Tým sme pre $\inv f$ overili prvú podmienku z definície lineárneho zobrazenia.

Druhá podmienka sa dá overiť podobným spôsobom, je to teraz o čosi jednoduchšie.
Máme ľubovoľné $\vec y\in W$ a pýtame sa, či $\inv f(c\vec y)=c\inv f(\vec y)$.
Označme si $\vec x:=\inv f(y)$. To znamená, že $f(\vec x)=\vec y$.
Z linearity zobrazenia $f$ máme
$$f(c\vec x)=cf(\vec x)=c\vec y.$$
Pre inverzné zobrazenie potom platí
$$\inv f(c\vec y)=c\vec x=c\inv f(y).$$
Tým sme overili aj druhú podmienku z definície lineárneho zobrazenia.
$\square$

Nejaké poznámky k odovzdaným riešeniam$\newcommand{\Zobr}[3]{{#1\colon #2\to #3}}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Viacerí ste sa snažili niečo v tejto úlohe zdôvodňovať pomocou matíc. K tomu chcem povedať dve všeobecné poznámky.

Jedna je, že maticu zobrazenia sme definovali iba pre zobrazenia $R^n\to R^m$. Takže pomocou matíc viete nejaké tvrdenie dokázať iba pre takéto priestory. (Prípadne by sa to mohlo dať rozšíriť na konečnorozmerné priestory; keďže každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $R$ je izomorfný s nejakým $R^n$. Takže ak by ste vedeli dokazovanú vlastnosť preniesť cez lineárny izomorfizmus, tak by sa dala ukázať aj pre konečnorozmerné priestory.) Nedokážete takto niečo pre ľubovoľný vektorový priestor.

Stále by som nemal problém dať nejaké body niekomu, čo neukázal všeobecné tvrdenie, ale dokázal ho aspoň v takomto špeciálnom prípade. Ďalšia výhrada, ktorú mám sa týka toho, že ste používali to, že matica inverzného zobrazenia je presne inverzná matica. Na to, aby sa vôbec zmysluplne dalo hovoriť o matici zobrazenia (a aby pre ňu fungovali veci, ktoré sme si dokazovali pre matice zobrazení), potrebujeme najprv vedieť, že toto zobrazenie je lineárne. Čiže v skutočnosti to potrebujeme robiť v opačnom poradí. Najprv musíme nejako zdôvodniť, že $\inv f$ je lineárne zobrazenie. Až keď vieme, že je lineárne, tak má zmysel hovoriť o jeho matici.

Ešte sa raz vrátim k tomuto príkladu. Najmä preto, že ste niektorí skúšali robiť niečo s maticami, t.j. skúšali ste niečo, čo by mohlo zabrať v konečnorozmerných priestoroch.

Takéto riešenie by fungovalo pre konečnorozmerné priestory (potrebujeme aby $V$ malo bázu):
Dôkaz: Nech $\vec b_1,\dots,\vec b_n$ je báza priestoru $V$. Ak $V$ je bijektívne, tak obrazy bázových vektorov $f(\vec b_1),\dots,f(\vec b_n)$ tvoria bázu priestoru $W$ (veta 4.5.1 v LAG1).
Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie $g\colon W\to V$ také, že $g(f(\vec b_i))=\vec b_i$. (Predpísali sme obrazy vektorov z bázy priestoru $W$. O existencii a jednoznačnosti takéhoto lineárneho zobrazenia hovorí Základná veta o lineárnych zobrazenia - veta 4.1.15.)
Čo vieme povedať o lineárnom zobrazení $g\circ f \colon V\to V$.

• Pre obrazy bázových vektorov platí $g\circ f(\vec b_i)=\vec b_i$.
• Zobrazenie $g\circ f$ je zloženie dvoch lineárnych zobrazení, teda je lineárne. (Veta 4.1.3 v LAG1.)

Teda vidíme, že lineárne zobrazenia $g\circ f$ a $id_V$ sa zhodujú na bázových vektoroch, t.j. $g\circ f(\vec b_i)=\vec b_i=id_V(\vec b_i)$. Opäť zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach máme jednoznačnosť takéhoto zobrazenia, čo znamená, že $g\circ f=id_V$.

Rovnakým spôsobom môžeme použiť bázu $f(\vec b_1),\dots,f(\vec b_n)$ vo $W$ a pozrieť sa na to, ako sa správa $f\circ g$ na tejto báze. Zistíme, že
$f(g(f(\vec b_i)))=f(\vec b_i)$
z čoho dostaneme (analogickým argumentom ako vyššie)
$f\circ g=id_W$.

Z rovností $f\circ g=id_W$ a $g\circ f=id_V$ vyplýva, že $g$ je inverzné zobrazenie k $f$. T.j. $g=f^{-1}$. Súčasne vieme, že $g$ je lineárne zobrazenie. Teda aj $f^{-1}$ je lineárne zobrazenie.

Nejaké komentáre
Asi vidno, že na rozdiel od prvého riešenia - kde sme využili prakticky iba definíciu - tu sme využívali oveľa viac vecí.
Druhý dôkaz však obsahuje pekný trik, že namiesto toho, aby sme sa zaoberali zobrazením $f^{-1}$, sme pracovali s nejakým iným zobrazením. O ňom sme vedeli, že je lineárne a ukázali sme, že sa zhoduje s inverzným zobrazením k $f$. (Takýto prístup navrhol M. Niepel.) Dôležitým faktom, ktorý tu implicitne využívame, je to, že už vieme o jednoznačnosti inverzného zobrazenia.

Rozšírenie na nekonečné dimenzie
V tomto dôkaze sme podstatným spôsobom využili, že $V$ má bázu. Bázu sme však definovali iba v prípade konečnorozmerných priestorov.

Možno však viete, že nejakým spôsobom sa dá báza zadefinovať aj v prípade ľubovoľných priestorov. T.j. nejaký typ bázy existuje aj pre nekonečnorozmerné priestory. (Mohli ste si o tom prečítať napríklad ak ste sa pozerali na prémiové úlohy.)

Potom môžeme vlastne úplne presne zopakovať argumenty z predošlého dôkazu, ak vieme overiť aj pre tento typ bázy veci, ktoré sme používali v dôkaze:

• Lineárne zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď obrazy bázových vektorov tvoria bázu.
• Obrazmi bázových vektorov je jednoznačne určené lineárne zobrazenie.

Takže takýto prístup je v princípe použiteľný aj pre ľubovoľné vektorové priestory, nielen pre konečnorozmerné.

Stále má istú nevýhodu - dôkaz o existencii bázy pre nekonečnorozmerné vektorové priestory sa opiera o axiómu výberu. O nej ste možno niečo počuli na diskrétnej matematike. Ak vieme tú istú vec dokázať aj bez axiómy výberu, tak takýto dôkaz zvyčajne uprednostňujeme. V prvom ročníku je ale asi zavčasu lámať si nad takýmito vecami hlavu. (Možno sa niečo o takýchto témach dozviete neskôr, ak si zapíšete niektoré predmety súvisiace s teóriou množín, logikou či filozofiou matematiky.)