Injektívnosť a jadro
Posted: Tue Dec 15, 2015 2:15 pm
Vo verziách C, D bola dôkazová úloha:$\newcommand{\Zobr}[3]{{#1\colon #2\to #3}}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Chceme ukázať injektívnosť, čiže implikáciu $f(\vec x)=f(\vec y)$ $\Rightarrow$ $\vec x=\vec y$.
Ak $f(\vec x)=f(\vec y)$, tak potom platí
$$f(\vec x)-f(\vec y)=\vec 0.$$
Pretože $f$ je lineárne, dostávame z toho
$$f(\vec x-\vec y)=\vec 0.$$
Zistili sme, že $\vec x-\vec y\in \operatorname{Ker} f$. Podľa predpokladov jadro obsahuje iba nulový vektor, takže dostávame, že
$$\vec x-\vec y=\vec 0$$
a teda
$$\vec x=\vec y.$$
$\square$
Nejaké poznámky k odovzdaným riešeniam
Úloha bola tvrdenie dokázať pre ľubovoľné priestory. Ak v dôkaze používate nejaké úvahy o hodnosti a dimenziách, tak to prejde nanajvýš pre konečnorozmerné priestory.
Viacerí ste ukazovali niečo takéto: Ak $\operatorname{Ker} f \ne \{\vec0\}$, tak $f$ nie je injektívne.
Toto je pravda. Je to však opačná implikácia než tá, ktorá bola v zadaní. (Zapísaná vo forme obmenenej implikácie.)
DôkazDokážte: Ak $\Zobr fVW$ je lineárne zobrazenie a $\operatorname{Ker} f = \{\vec0\}$, tak $f$ je injektívne.
(Symbol $\operatorname{Ker} f$ označuje jadro zobrazenia $f$, t.j. $\operatorname{Ker} f=\{\vec x; f(\vec x)=\vec 0\}$.)
Chceme ukázať injektívnosť, čiže implikáciu $f(\vec x)=f(\vec y)$ $\Rightarrow$ $\vec x=\vec y$.
Ak $f(\vec x)=f(\vec y)$, tak potom platí
$$f(\vec x)-f(\vec y)=\vec 0.$$
Pretože $f$ je lineárne, dostávame z toho
$$f(\vec x-\vec y)=\vec 0.$$
Zistili sme, že $\vec x-\vec y\in \operatorname{Ker} f$. Podľa predpokladov jadro obsahuje iba nulový vektor, takže dostávame, že
$$\vec x-\vec y=\vec 0$$
a teda
$$\vec x=\vec y.$$
$\square$
Nejaké poznámky k odovzdaným riešeniam
Úloha bola tvrdenie dokázať pre ľubovoľné priestory. Ak v dôkaze používate nejaké úvahy o hodnosti a dimenziách, tak to prejde nanajvýš pre konečnorozmerné priestory.
Viacerí ste ukazovali niečo takéto: Ak $\operatorname{Ker} f \ne \{\vec0\}$, tak $f$ nie je injektívne.
Toto je pravda. Je to však opačná implikácia než tá, ktorá bola v zadaní. (Zapísaná vo forme obmenenej implikácie.)