msleziak.com

Síce ste úlohu takéhoto typu riešili na prednáške a máte ju vyriešenú aj v LAG1 (príklad 7.8.4). Skúsme sa aj tak pozrieť na viacero spôsobov, ako sa dá riešiť úloha nájsť maticu projekcie na zadaný podpriestor.
(V závislosti od zadania sa niektorý z nich môže niekedy hodiť viac, niekedy menej.)

Ešte spomeniem aj to, že aj ak hľadáme kolmý priemet nejakého konkrétneho vektora, tak to môžeme urobiť i tak, že nájdeme maticu projekcie a zadaný vektor ňou vynásobíme.
Úlohy takéhoto typu môžete nájsť vyriešené tu: viewtopic.php?t=574 a viewtopic.php?t=575

Nájdite maticu ortogonálnej projekcie v $\mathbb R^3$ (so štandardným skalárnym súčinom) na podpriestor $S=[(2,1,2,1),(0,1,1,1),(4,-1,1,2)]$.

Začnime tým, že nájdime dimenziu (a jednoduchšiu bázu) priestoru $S$,
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 4 &-1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Vidíme, že $S=[(2,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)]$.

Súčasne z predošlej matice vieme vyčítať, ako vyzerá $S^\bot$. (To je presne množina riešení homogénnej sústavy s touto maticou.)
Je to $S^\bot=[(1,2,-2,0)]$.

Priemet do $S^\bot$
Pretože priestor $S^\bot$ je jednorozmerný hľadáme vlastne priemet vektora $\vec x$ do smeru vektora $\vec a=(1,2,-2,0)$. Hodí sa nám zobrať si jednotkový vektor určujúci ten istý podpriestor, t.j. zoberme si $\vec b=\frac1{|\vec a|}\vec a=\frac13(1,2,-2,0)$.
Skalárny súčin $\langle \vec x,\vec b\rangle=\vec x \vec b^T$ určuje presne veľkosť priemetu vektora $\vec x$ do smeru $\vec b$. Teda priemet $\vec x$ môžeme vypočítať ako
$$\langle \vec x,\vec b\rangle\vec b=\vec x\vec b^T\vec b.$$
Z toho vidíme, že matica projekcie do $S^\bot$ je presne
$$P'=\vec b^T\vec b = \frac19 \begin{pmatrix}1\\2\\-2\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&-2&0\end{pmatrix}= \frac19\begin{pmatrix} 1 & 2 &-2 & 0 \\ 2 & 4 &-4 & 0 \\ -2 &-4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Maticu kolmej projekcie do podpriestoru $S$ potom dostaneme ako
$$P=I-P'= \frac19\begin{pmatrix} 8 &-2 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

Všimnime si, že obe matice vyšli symetrické. (Z prednášky aj vieme, že matica kolmej projekcii by mala byť symetrická.)

Pri tomto postupe sme ale dosť výrazne využili to, že $S^\bot$ bol jednorozmerný podpriestor. Mali by sme sa zamyslieť aj nad tým, ako by sme riešili takúto úlohu aj v prípade, že ani $S$ ani $S^\bot$ nie sú jednorozmerné.

Hľadanie matice zobrazenia riadkovými operáciami

Vieme, že matica projekcie na $S$ nemení vektory z $S$ a všetky vektory z $S^\bot$ sa majú zobraziť na nulu. Takže vlastne stačí hľadať maticu, ktorá bázové vektory podpriestoru $S$ nemení a bázové vektory $S^\bot$ zobrazuje na nulu. Teda maticu $P$ by sme mohli nájsť aj takto:

$\left(\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 0 &-4 & 5 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 &-4 & 5 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & 2 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 &-4 & 0 & 0 &-2 &-2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac29 & \frac49 & \frac59 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 &-4 & 0 & \frac89 &-\frac29 & \frac29 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &-\frac29 & \frac59 & \frac49 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac29 & \frac49 & \frac59 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Opäť sme dostali rovnakú maticu
$$P=\begin{pmatrix} \frac89 &-\frac29 & \frac29 & 0 \\ -\frac29 & \frac59 & \frac49 & 0 \\ \frac29 & \frac49 & \frac59 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Riešenie sústavy
Na zadanú úlohu sa môžeme pozerať aj tak, že pre daný vektor $\vec x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ chceme nájsť jeho vyjadrenie v tvare
$\vec x=a(2,0,1,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,0,1)+d(1,2,-2,0)$.
V tomto vyjadrení prvá časť $a(2,0,1,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,0,1)$ patrí do $S$ a určuje kolmý priemet vektora $\vec x$ do $S$.
Druhá časť $d(1,2,-2,0)$ je kolmý priemet do $S^\bot$.

Dostaneme sústavu určenú maticou
$\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & 1 & x_1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & x_2 \\ 1 & 1 & 0 &-2 & x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & 1 & x_1 \\ -4 & 1 & 0 & 0 & -2x_1+x_2 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 2x_1+x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & 1 & x_1 \\ -4 & 1 & 0 & 0 & -2x_1+x_2 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & 4x_1-x_2+x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & 1 & x_1 \\ -4 & 1 & 0 & 0 & -2x_1+x_2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 1 & \frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3 \end{array}\right)$

Riešením sústavy sme dostali
$$\begin{align*} a&=\frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3 \\ b&=-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3 \\ c&=x_4 \\ d&=\frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3 \end{align*}$$

To znamená, že kolmá projekcia na $S$ je
$$\begin{multline*} p(\vec x)=\left(\frac49x_1-\frac19x_2+\frac19x_3\right)(2,0,1,0)+\left(-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3\right)(0,1,1,0)+x_4(0,0,0,1)=\\= \left(\frac89x_1-\frac29x_2+\frac29x_3,-\frac29x_1+\frac59x_2+\frac49x_3,\frac29x_1+\frac49x_2+\frac59x_3,x_4\right). \end{multline*}$$
Matica tohoto lineárneho zobrazenia je
$$P= \frac19\begin{pmatrix} 8 &-2 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

Pre projekciu na $S^\bot$ dostaneme
$$p'(\vec x)=\left(\frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3\right)(1,2,-2,0)= \left(\frac19x_1+\frac29x_2-\frac29x_3,\frac29x_1+\frac49x_2-\frac49x_3,-\frac29x_1-\frac49x_2+\frac49x_3,0\right).$$
Toto lineárne zobrazenie má maticu
$$P'= \frac19\begin{pmatrix} 1 & 2 &-2 & 0 \\ 2 & 4 &-4 & 0 \\ -2 &-4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Súčet projekcií na vektory ortogonálnej bázy

Ak by sme poznali ortogonálnu bázu $S$, tak môžeme urobiť projekcie na vektory z tejto bázy. (Vieme už, že projekcie do jednorozmerných podpriestorov sa počítajú ľahko.)
A tieto projekcie môžeme jednoducho sčítať. (Skúste si rozmyslieť, prečo takýto postup funguje pre ortogonálnu bázu ale nie pre ľubovoľnú bázu.)

Ak aplikujeme Gram-Schmidtov proces na bázové vektory $(2,0,1,0)$, $(0,1,1,0)$, $(0,0,0,1)$, tak dostaneme ortogonálnu bázu
$\vec a_1=(2,0,1,0)$
$\vec a_2=\frac15(-2,5,4,0)$
$\vec a_3=(0,0,0,1)$

Ak tieto vektory ešte predelíme veľkosťou, dostaneme ortonormálnu bázu.
$\vec b_1=\frac1{\sqrt5}(2,0,1,0)$
$\vec b_2=\frac1{3\sqrt5}(-2,5,4,0)$
$\vec b_3=(0,0,0,1)$

Matice kolmých projekcií do smerov týchto vektorov sú
$P_1=\vec b_1^T\vec b_1=\frac1{5}\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&1&0\end{pmatrix}= \frac15\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$P_2=\vec b_2^T\vec b_2=\frac1{45}\begin{pmatrix}-2\\5\\4\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&5&4&0\end{pmatrix}= \frac1{45}\begin{pmatrix} 4 &-10 & -8 & 0 \\ -10 & 25 & 20 & 0 \\ -8 & 20 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$P_3=\vec b_3^T\vec b_3=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Hľadanú maticu projekcie potom dostaneme ako
$$P=P_1+P_2+P_3= \begin{pmatrix} \frac89 &-\frac29 & \frac29 & 0 \\ -\frac29 & \frac59 & \frac49 & 0 \\ \frac29 & \frac49 & \frac59 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$