msleziak.com

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.

Najskôr dokážme, že $\Tra(A)=\Tra(A)^T$. Keďže každý prvok $a_{i,j}$ matice $A$ zodpovedá prvku $a_{j,i}$ z $A^T$, vidíme, že prvky hlavnej diagonály, teda všetky $a_{i,i}$ pre $i = 1 .. n$ po transponovaní svoje súradnice nemenia. Transponovanie štvorcovej matice teda neovplyvňuje hlavnú diagonálu a nemení ani súčet prvkov, ktoré sa na nej nachádzajú.

Stopu súčinu dvoch štvorcových matíc A a B si vieme zapísať takto: $$\Tra(AB)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}b_{j,i}$$
Ak teraz vymeníme poradie sčítavania súčinov prvkov, dostávame $\Tra(BA)$: $$\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} b_{j,i}a_{i,j} = \Tra(BA)$$

Riešenie je ok, značím si zaň 1 bod.