Domaca uloha 2
Posted: Thu Oct 18, 2012 5:22 pm
Nejake poznamky k castym chybam v du2. V texte v prednaske najdete nejake dokazy takehoto typu - konkretne napriklad dokaz tvrdenia 2.4.5(i).
Konecne a nekonecne systemy
Pri ulohach takehoto typu je dolezite uvedomit si rozdiel medzi tym, ci dokazujeme nieco pre konecny system mnozin alebo pre konecne vela mnozin.
Vieme napriklad dokazat $(A_1\cup A_2)\cup(B_1\cup B_2)=(A_1\cup B_1)\cup(A_2\cup B_2)$ prepisanim podla definicie:
Indukciou by sme vedeli toto tvrdenie rozsirit na $(A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \cup (B_1\cup B_2 \cup \dots \cup A_n)$ pre lubovolne prirodzene cislo $n$.
Tym sme vlastne dokazali $(\bigcup\limits_{i\in I} A_i)\cup(\bigcup\limits_{i\in I} B_i) = \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$ pre lubovolnu konecnu mnozinu $I$. (Kazdu konecnu mnozinu viem ocislovat cislami $1,2,\dots,n$ pre nejake $n$.) To vsak nie je to, co sme mali dokazovat - v zadani ulohy islo o dokaz tohoto tvrdenia pre lubovolny system, nie iba pre systemy pozostavajuce z konecne vela mnozin.
Poznamky k zapisu
Medzi mnozinami piseme rovnost, inkluzia a pod. Medzi vyrokmi ekvivalenciu, implikaciu a dalsie logicke spojky.
Priklady spravnych zapisov:
$$A\setminus B=\{x\in A; x\notin B\}\\
x\in A\setminus B \Leftrightarrow x\in A\land x\notin B
$$
Tento zapis je nespravny: $A\setminus B=x\in A \land x\notin B$.
Tento zapis by sa snad dal uznat: $x\in A\setminus B = x\in A\land x\notin B$. Medzi ekvivalentnymi vyrokmi je vsak ovela beznejsie pisat $\Leftrightarrow$, $\equiv$ alebo $\leftrightarrow$.
Podobne namiesto $x\notin \bigcup_{i\in I} A_i$ mozeme pisat $\neg (\exists i\in I) (x\in A_i)$, pripadne $\neg [(\exists i\in I) (x\in A_i)]$
ale zapis $x\notin (\exists i\in I) (x\in A_i)$ nie je spravny. (Po symboloch $\in$, $\notin$ by mala nasledovat mnozina.)
Pokial ste si nie isty tym, ako zapisat veci, mozno je rozumnejsie rozpisat to slovne, ako pouzit strucnejsi zapis, ale nespravny. (Cize napisat nieco ako: Nech $x$ je lubovolny prvok mnoziny $A\setminus B$. To znamena, ze plati $x\in A$ a $x\notin B$. To je ekvivalentne s tym, ze...)
Prepisanie na vyrok s kvantifikatormi
Vyrok $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ mozeme prepisat ako $(\forall i\in I) x\in A_i$. Ak oznacim $Q(i)\equiv x\in A_i$, tak to mozem prepisat ako $(\forall i\in I) Q(i)$. V niektorych odovzdanych ulohach sa objavil zapis $(\forall x)Q(x)$, hoci kvantifikatory sa v skutocnosti vztahovali na mnozinu $I$. (To v principe nie je ziadna velka chyba, ale ak v tom istom dokaze oznacujete dve rozne veci ako $x$, mozete sa lahko popliest.)
Konecne a nekonecne systemy
Pri ulohach takehoto typu je dolezite uvedomit si rozdiel medzi tym, ci dokazujeme nieco pre konecny system mnozin alebo pre konecne vela mnozin.
Vieme napriklad dokazat $(A_1\cup A_2)\cup(B_1\cup B_2)=(A_1\cup B_1)\cup(A_2\cup B_2)$ prepisanim podla definicie:
Spoiler:
Tym sme vlastne dokazali $(\bigcup\limits_{i\in I} A_i)\cup(\bigcup\limits_{i\in I} B_i) = \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$ pre lubovolnu konecnu mnozinu $I$. (Kazdu konecnu mnozinu viem ocislovat cislami $1,2,\dots,n$ pre nejake $n$.) To vsak nie je to, co sme mali dokazovat - v zadani ulohy islo o dokaz tohoto tvrdenia pre lubovolny system, nie iba pre systemy pozostavajuce z konecne vela mnozin.
Poznamky k zapisu
Medzi mnozinami piseme rovnost, inkluzia a pod. Medzi vyrokmi ekvivalenciu, implikaciu a dalsie logicke spojky.
Priklady spravnych zapisov:
$$A\setminus B=\{x\in A; x\notin B\}\\
x\in A\setminus B \Leftrightarrow x\in A\land x\notin B
$$
Tento zapis je nespravny: $A\setminus B=x\in A \land x\notin B$.
Tento zapis by sa snad dal uznat: $x\in A\setminus B = x\in A\land x\notin B$. Medzi ekvivalentnymi vyrokmi je vsak ovela beznejsie pisat $\Leftrightarrow$, $\equiv$ alebo $\leftrightarrow$.
Podobne namiesto $x\notin \bigcup_{i\in I} A_i$ mozeme pisat $\neg (\exists i\in I) (x\in A_i)$, pripadne $\neg [(\exists i\in I) (x\in A_i)]$
ale zapis $x\notin (\exists i\in I) (x\in A_i)$ nie je spravny. (Po symboloch $\in$, $\notin$ by mala nasledovat mnozina.)
Pokial ste si nie isty tym, ako zapisat veci, mozno je rozumnejsie rozpisat to slovne, ako pouzit strucnejsi zapis, ale nespravny. (Cize napisat nieco ako: Nech $x$ je lubovolny prvok mnoziny $A\setminus B$. To znamena, ze plati $x\in A$ a $x\notin B$. To je ekvivalentne s tym, ze...)
Prepisanie na vyrok s kvantifikatormi
Vyrok $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ mozeme prepisat ako $(\forall i\in I) x\in A_i$. Ak oznacim $Q(i)\equiv x\in A_i$, tak to mozem prepisat ako $(\forall i\in I) Q(i)$. V niektorych odovzdanych ulohach sa objavil zapis $(\forall x)Q(x)$, hoci kvantifikatory sa v skutocnosti vztahovali na mnozinu $I$. (To v principe nie je ziadna velka chyba, ale ak v tom istom dokaze oznacujete dve rozne veci ako $x$, mozete sa lahko popliest.)