Kolmý priemet do jednorozmerného podpriestoru
Posted: Sat Mar 05, 2016 3:55 pm
Pretože takáto vec je vo viacerých typoch úloh, ktoré sme riešili, pomerne užitočná, pozrime sa na to, ako sa vyráta kolmý priemet do podpriestoru generovaného jedným vektorom.
Máme teda daný vektor $\vec x$ a súčasne podpriestor $S=[\vec a]$.
Možno nám trochu zjednoduší výpočet, ak vezmeme generátor priestoru $S$, ktorý má veľkosť $1$. T.j. zoberme vektor $\vec u=\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$. Tento vektor tiež generuje $S$, ale navyše je to jednotkový vektor. T.j. $S=[\vec u]$ a $\|\vec u\|=1$.
Chceme nájsť kolmý priemet vektora $\vec x$ do podpriestoru $S$. Musí to byť nejaký násobok vektora $\vec u$, čiže má tvar $c\vec u$. Navyše chceme, aby vektory $\vec x-c\vec u$ a $\vec u$ boli na seba kolmé, t.j.
$$\langle \vec x-c\vec u,\vec u\rangle = 0.$$
Tento výraz môžeme upraviť ako $\langle \vec x-c\vec u,\vec u\rangle = \langle \vec x, \vec u \rangle - c\langle\vec u,\vec u\rangle = \langle \vec x, \vec u \rangle - c$.
Dostávame teda
$$
\begin{align*}
\langle \vec x, \vec u \rangle - c &=0\\
\langle \vec x, \vec u \rangle &= c
\end{align*}
$$
Tým sme vypočítali, čomu sa rovná konštanta $c$. Teda priemet do $S=[\vec u]$ je
$$c\vec u = \langle \vec x, \vec u \rangle \vec u = \vec x \vec u^T \vec u.$$
Môžeme si všimnúť, že týmto sme súčasne získali aj maticu projekcie. Pre maticu $P=\vec u^T \vec u$ platí, že priemet je
$$\vec x \vec u^T \vec u = \vec x P.$$
Teda toto je skutočne matica lineárneho zobrazenia, ktoré vektoru $\vec x$ priradí jeho kolmý priemet do $S$.
Máme teda daný vektor $\vec x$ a súčasne podpriestor $S=[\vec a]$.
Možno nám trochu zjednoduší výpočet, ak vezmeme generátor priestoru $S$, ktorý má veľkosť $1$. T.j. zoberme vektor $\vec u=\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$. Tento vektor tiež generuje $S$, ale navyše je to jednotkový vektor. T.j. $S=[\vec u]$ a $\|\vec u\|=1$.
Chceme nájsť kolmý priemet vektora $\vec x$ do podpriestoru $S$. Musí to byť nejaký násobok vektora $\vec u$, čiže má tvar $c\vec u$. Navyše chceme, aby vektory $\vec x-c\vec u$ a $\vec u$ boli na seba kolmé, t.j.
$$\langle \vec x-c\vec u,\vec u\rangle = 0.$$
Tento výraz môžeme upraviť ako $\langle \vec x-c\vec u,\vec u\rangle = \langle \vec x, \vec u \rangle - c\langle\vec u,\vec u\rangle = \langle \vec x, \vec u \rangle - c$.
Dostávame teda
$$
\begin{align*}
\langle \vec x, \vec u \rangle - c &=0\\
\langle \vec x, \vec u \rangle &= c
\end{align*}
$$
Tým sme vypočítali, čomu sa rovná konštanta $c$. Teda priemet do $S=[\vec u]$ je
$$c\vec u = \langle \vec x, \vec u \rangle \vec u = \vec x \vec u^T \vec u.$$
Môžeme si všimnúť, že týmto sme súčasne získali aj maticu projekcie. Pre maticu $P=\vec u^T \vec u$ platí, že priemet je
$$\vec x \vec u^T \vec u = \vec x P.$$
Teda toto je skutočne matica lineárneho zobrazenia, ktoré vektoru $\vec x$ priradí jeho kolmý priemet do $S$.