Existenčné dôkazy
Posted: Thu Mar 10, 2016 10:21 am
Asi v súvislosti s kardinalitou ste sa prvýkrát stretli s dôkazom, kde sa ukáže existencia nejakého objektu, bez toho, aby sa tento objekt skonštruoval. Základná ide je, že ak mám dve množiny a $|A|<|B|$, tak určite ich rozdiel $B\setminus A$ musí byť neprázdny.
Azda najznámejší takýto dôkaz je Cantorov dôkaz existencie transcendentných čísel. (Oplatí sa ale spomenúť, že s o niečo väčšou námahou by sa tento dôkaz dal prerobiť na konštruktívny, takže by sme nejako dostali konkrétny príklad transcendentného čísla.)
Dá sa nájsť aj veľa ďalších podobných argumentov na základe kardinality. Nejaké sa dajú nájsť napríklad tu:
* Looking for a problem where one could use a cardinality argument to find a solution. - Math.SE
Kardinalita však nie je jediná vec, ktorá sa vyskytuje v takýchto čisto existenčných dôkazoch.
Kategória
Ak máme nejaký úplný metrický priestor a v ňom podmnožinu, ktorá je prvej kategórie (t.j. spočítateľné zjednotenie riedkych množín), tak doplnok musí byť neprázdny (je to množina druhej kategórie). Toto je vlastne Baireova veta o kategórii.
Táto metóda sa tiež teda dá použiť na existenčné dôkazy. Treba na to nájsť vhodnú metriku na množine objektov, s ktorými pracujeme.
Najznámejší je azda takýto dôkaz existencie funkcie, ktorá nie je diferencovateľná v žiadnom bode.
Je však veľa ďalších podobných aplikácii, niektoré sú spomenuté napríklad tu:
* Your favourite application of the Baire Category Theorem (math.SE)
Miera
Iná možnosť je využiť Lebesguovu (alebo nejakú inú) mieru. Ak máme množiny $A\subseteq B$ a $\mu(A)<\mu(B)$, tak $B\setminus A\ne\emptyset$.
Dá sa takto ukázať napríklad existencia normálnych čísel.
Azda najznámejší takýto dôkaz je Cantorov dôkaz existencie transcendentných čísel. (Oplatí sa ale spomenúť, že s o niečo väčšou námahou by sa tento dôkaz dal prerobiť na konštruktívny, takže by sme nejako dostali konkrétny príklad transcendentného čísla.)
Dá sa nájsť aj veľa ďalších podobných argumentov na základe kardinality. Nejaké sa dajú nájsť napríklad tu:
* Looking for a problem where one could use a cardinality argument to find a solution. - Math.SE
Kardinalita však nie je jediná vec, ktorá sa vyskytuje v takýchto čisto existenčných dôkazoch.
Kategória
Ak máme nejaký úplný metrický priestor a v ňom podmnožinu, ktorá je prvej kategórie (t.j. spočítateľné zjednotenie riedkych množín), tak doplnok musí byť neprázdny (je to množina druhej kategórie). Toto je vlastne Baireova veta o kategórii.
Táto metóda sa tiež teda dá použiť na existenčné dôkazy. Treba na to nájsť vhodnú metriku na množine objektov, s ktorými pracujeme.
Najznámejší je azda takýto dôkaz existencie funkcie, ktorá nie je diferencovateľná v žiadnom bode.
Je však veľa ďalších podobných aplikácii, niektoré sú spomenuté napríklad tu:
* Your favourite application of the Baire Category Theorem (math.SE)
Miera
Iná možnosť je využiť Lebesguovu (alebo nejakú inú) mieru. Ak máme množiny $A\subseteq B$ a $\mu(A)<\mu(B)$, tak $B\setminus A\ne\emptyset$.
Dá sa takto ukázať napríklad existencia normálnych čísel.