Domaca uloha 3
Posted: Thu Oct 18, 2012 5:26 pm
Nejake poznamky k du3
Matematicka indukcia az po $\infty$?
Ak nejake tvrdenie dokazem pre kazde prirodzene cislo $n$, tak nemozem jednoducho povedat, ze plati aj pre $n=\infty$ a tvarit sa, ze dokaz funguje aj pre nekonecne systemy mnozin.
Podobne problemy boli aj s minulou ulohou.
Toto zadanie som dal do istej miery preto, aby ste si uvedomili tento rozdiel.
(Napriklad vyrok "Mnozina $\{1,2,\dots,n\}$ je konecna." plati pre kazde $n$. Ale nemozeme ho rozsirit pre $n$ iduce do nekonecna.)
Aby som to dal do kontextu s tym, o com sme hovorili na prednaske - uz viete, ze indukcia funguje aj na kazdej dobre usporiadanej mnozine. Cize skutocne by ste mohli robit dokazy indukciou pre mnozinu $\{1,2,\dots\}\cup\{\infty\}$. Indukcny krok pre $\infty$ by vsak musel vyzerat o dost inak, ako indukcny krok pre prirodzene cisla - pretoze $\infty$ nie je nasledovnikom ziadneho prvku z tejto mnoziny ($\infty$ neviem zapisat ako $n+1$ pre prirodzene cislo $n$).
Nespravnym pouzitim indukcie sa skutocne da dokazat kadeco - mozete si pozriet napriklad tento "dokaz" ze $0=1$ a zamysliet sa, ci viete najst, kde v nom je chyba.
Zjednotenie systemu mnozin
Kedze aj chyby takehoto typu sa vyskytli, tak zopakujem, ze zapisy
$$\bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup \{A_i; i=1,\dots,n\}$$
oznacuju presne to iste. (Su tam tie prvky, ktore patria do niektorej z mnozin $A_1,\dots, A_n$.)
Zapis $\bigcup A_n$ znamena uplne nieco ine. (Je to zjednotenie vsetkych mnozin, ktore su prvkami mnoziny $A_n$.)
Matematicka indukcia az po $\infty$?
Ak nejake tvrdenie dokazem pre kazde prirodzene cislo $n$, tak nemozem jednoducho povedat, ze plati aj pre $n=\infty$ a tvarit sa, ze dokaz funguje aj pre nekonecne systemy mnozin.
Podobne problemy boli aj s minulou ulohou.
Toto zadanie som dal do istej miery preto, aby ste si uvedomili tento rozdiel.
(Napriklad vyrok "Mnozina $\{1,2,\dots,n\}$ je konecna." plati pre kazde $n$. Ale nemozeme ho rozsirit pre $n$ iduce do nekonecna.)
Aby som to dal do kontextu s tym, o com sme hovorili na prednaske - uz viete, ze indukcia funguje aj na kazdej dobre usporiadanej mnozine. Cize skutocne by ste mohli robit dokazy indukciou pre mnozinu $\{1,2,\dots\}\cup\{\infty\}$. Indukcny krok pre $\infty$ by vsak musel vyzerat o dost inak, ako indukcny krok pre prirodzene cisla - pretoze $\infty$ nie je nasledovnikom ziadneho prvku z tejto mnoziny ($\infty$ neviem zapisat ako $n+1$ pre prirodzene cislo $n$).
Nespravnym pouzitim indukcie sa skutocne da dokazat kadeco - mozete si pozriet napriklad tento "dokaz" ze $0=1$ a zamysliet sa, ci viete najst, kde v nom je chyba.
Zjednotenie systemu mnozin
Kedze aj chyby takehoto typu sa vyskytli, tak zopakujem, ze zapisy
$$\bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup \{A_i; i=1,\dots,n\}$$
oznacuju presne to iste. (Su tam tie prvky, ktore patria do niektorej z mnozin $A_1,\dots, A_n$.)
Zapis $\bigcup A_n$ znamena uplne nieco ine. (Je to zjednotenie vsetkych mnozin, ktore su prvkami mnoziny $A_n$.)