Príklady z druhej náhradnej písomky

[Martin Sleziak]

Napíšem niečo aj k príkladom z náhradnej druhej písomky - keďže nedopadla veľmi dobre.

Afinné zobrazenie

Skupina D

Ak existuje, nájdite aspoň jedno afinné zobrazenie ${(f,\varphi)}\colon{(\mathbb R^3,\mathbb R^3)}\to{(\mathbb R^2,\mathbb R^2)}$ také, že $f(A_i)=B_i$ pre $i=0,1,2,3$, kde\\
$A_0=(1,1,0)$, $B_0=(1,1)$;\\
$A_1=(1,0,1)$, $B_1=(1,-2)$;\\
$A_2=(1,-1,1)$, $B_2=(1,0)$;\\
$A_3=(-1,2,1)$, $B_3=(1,2)$.\\
(Pod "nájdite" sa rozumie "napíšte predpis" takéhoto zobrazenia; t.j. vyjadrite, čomu sa rovná $f(x,y,z)$ pre ľubovoľný bod $(x,y,z)\in\mathbb R^3$.)

Skupina E

Ak existuje, nájdite aspoň jedno afinné zobrazenie ${(f,\varphi)}\colon{(\mathbb R^3,\mathbb R^3)}\to{(\mathbb R^2,\mathbb R^2)}$ také, že $f(A_i)=B_i$ pre $i=0,1,2,3$, kde\\
$A_0=(1,1,0)$, $B_0=(1,1)$;\\
$A_1=(1,0,1)$, $B_1=(1,2)$;\\
$A_2=(1,-1,1)$, $B_2=(1,0)$;\\
$A_3=(-1,2,1)$, $B_3=(1,-2)$.\\
(Pod "nájdite" sa rozumie "napíšte predpis" takéhoto zobrazenia; t.j. vyjadrite, čomu sa rovná $f(x,y,z)$ pre ľubovoľný bod $(x,y,z)\in\mathbb R^3$.)

Tu nebudem písať žiadne komentáre - rovnaké zadanie sa vyskytlo vlani (len s inými číslami), tam si môžete prečítať, ako sa dalo riešiť (a tiež aké chyby sa vyskytli - tento rok to dopadlo presne rovnako ako vlani): viewtopic.php?t=626

[Martin Sleziak]

Afinný obal

Skupina D

Nájdite najmenší afinný podpriestor $\mathbb R^4$, ktorý obsahuje bod $A=(-3,0,1,0)$ a rovinu $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3-1=0, x_1+x_2+x_4=0\}$. Napíšte jeho parametrické aj analytické vyjadrenie.

Skupina E

Nájdite najmenší afinný podpriestor $\mathbb R^4$, ktorý obsahuje bod $A=(2,0,1,0)$ a rovinu $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3-1=0, x_1+x_2+x_4=0\}$. Napíšte jeho parametrické aj analytické vyjadrenie.

Podobné zadanie z vlani: viewtopic.php?t=627 (Rozdiel je ten, že namiesto bodu a roviny tam boli bod a priamka.)

*******

Ako sa to dá riešiť: (Nebudem písať kompletné riešenie.)
Hľadáme afinný podpriestor $\beta$, ktorý obsahuje bod $A$ a aj rovinu $\alpha$.
Teda vektorová zložka musí obsahovať $V_\alpha$. Vektorový priestor $V_\alpha$ je dvojrozmerný, vieme nájsť vektory také, že $V_\alpha=[\vec u,\vec v]$.
Ak si vezmeme ľubovoľný bod $B\in\alpha$, tak aj vektor $\overrightarrow{AB}$ má patriť do $V_\beta$.
Teda afinný podpriestor $\beta$ vieme napríklad dostať ako podpriestor určený bodom $A$ a vektorovou zložkou $[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]$.

******

Chyby, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach

Úplne správne riešenie nemal nikto.

Nie je ťažké si uvedomiť, že dimenzia hľadaného podpriestoru musí byť väčšia ako dimenzia priestoru $\alpha$, lebo $A\notin B_\alpha$. (Viacerí ste napísali, že hľadaný priestor bude rovina.)

Ešte jedna vec, na ktorú upozorním:

Niekto si dal do matice vektory z $V_\alpha$ a bod $A$ a snažil sa urobiť nejaký záver z toho, či tieto vektory sú lineárne nezávislé. Takéto niečo nemá veľmi zmysel. Ak zisťujeme lineárnu nezávislosť, mali by sme pracovať s vektormi. (Je pravda, že súradnice bodu $A$ sú rovnaké ako súradnice vektora $\overrightarrow{OA}$, kde $O$ je počiatok súradnicovej sústavy. Ak sa však v úlohe nikde nevyskytol bod $O$, tak tento vektor asi nebude mať priveľký súvis s tým, čo chceme rátať.)