msleziak.com

Na konzultáciách ste sa pýtali na výpočet strednej priečky. Síce strednú priečku máte vyrátanú v jednom z príkladov na vzdialenosť: viewtopic.php?t=628

Skúsim tu napísať riešenie ešte jedného podobného príkladu -- v podstate presne rovnakým spôsobom, len sa ho pokúsim zapísať pomocné výpočty trošičku inak (azda trochu kompaktnejšie).

Samozrejme, ak by ste mali otázky, tak sa tu môžete pýtať. (Alebo ak by ste mali nápad na iné riešenie, tiež ho môžete napísať sem.)

V $\mathbb R^4$ máme zadanú priamku $p$ a rovinu $\alpha$:
$p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=1+3t, x_2=2+2t, x_3=-3-t, x_4=4+2t; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1-x_2+x_3-x_4=-2, x_1+x_2+3x_3-x_4=2\}$.
Overte, že $p$ a $\alpha$ sú mimobežné a nájdite ich strednú priečku.$\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$

Riešenie.
Priamku $P$ môžeme parametricky vyjadriť v tvare $A+s\vec x$ ($s\in\mathbb R$), kde $A=(1,2,-3,4)$ a $\vec x=(3,2,-1,2)$.

Najprv sa pokúsme zjednodušiť vyjadrenie roviny $\alpha$ a tiež napísať jej parametrické vyjadrenie.
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 &-1 &-2 \\
1 & 1 & 3 &-1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 &-1 &-2 \\
2 & 0 & 4 &-2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
1 &-1 & 1 &-1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
0 &-1 &-1 & 0 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right)$

Z týchto úprav vieme zistiť, že $V_\alpha=[(2,1,-1,0),(1,0,0,1)]$.
Takisto vieme nájsť nejaký bod patriaci rovine, napríklad $B=(0,2,0,0)$.
Teda parametricky môžeme rovinu $\alpha$ vyjadriť ako $B+t\vec y+u\vec z$ ($t,u\in\mathbb R$), kde $\vec y=(2,1,-1,0)$, $\vec z=(1,0,0,1)$.

Teraz už ľahko vieme overiť, že $\vec x\notin V_\alpha$. Z toho vyplýva, že $V_p\cap V_\alpha=\{\vec0\}$ a zadané afinnné podpriestory sú mimobežné.

Ľubovoľný bod priamky $p$ má tvar: $X=A+s\vec x$.
Ľubovoľný bod roviny $\alpha$ má tvar: $Y=B+t\vec y+u\vec z$.
Teda vektor určený takýmito bodmi je $\overrightarrow{XY}=Y-X=(B+t\vec y+u\vec z)-(A+s\vec x)=\overrightarrow{AB}+t\vec y+u\vec z-s\vec x$.

Radi by sme našli také hodnoty parametrov $s$, $t$, $u$, pre ktoré je tento vektor kolmý na priamku $p$ aj rovinu $\alpha$.
Teda chceme, aby $\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec x}=\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec y}=\skl{\overrightarrow{XY}}{\vec z}=0$.
Tieto podmienky môžeme prepísať ako
\begin{align*}
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec x}-s\skl{\vec x}{\vec x}+t\skl{\vec y}{\vec x}+u\skl{\vec z}{\vec x}&=0\\
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec y}-s\skl{\vec x}{\vec y}+t\skl{\vec y}{\vec y}+u\skl{\vec z}{\vec y}&=0\\
\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec z}-s\skl{\vec x}{\vec z}+t\skl{\vec y}{\vec z}+u\skl{\vec z}{\vec z}&=0
\end{align*}
Alebo ekvivalentne
\begin{align*}
s\skl{\vec x}{\vec x}-t\skl{\vec y}{\vec x}-u\skl{\vec z}{\vec x}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec x}\\
s\skl{\vec x}{\vec y}-t\skl{\vec y}{\vec y}-u\skl{\vec z}{\vec y}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec y}\\
s\skl{\vec x}{\vec z}-t\skl{\vec y}{\vec z}-u\skl{\vec z}{\vec z}&=\skl{\overrightarrow{AB}}{\vec z}
\end{align*}
Ak vypočítame jednotlivé skalárne súčiny, ktoré tu vystupujú, tak dostaneme sústavu rovníc, pomocou ktorej vieme nájsť $s$, $t$, $u$. \begin{align*}
18s-9t-5u&=-14\\
9s-6t-2u&=-5\\
5s-2t-2u&=-4
\end{align*}
Riešením tejto sústavy dostaneme $s=-1$, $t=-1$, $u=1$. Dostaneme tak body
$X=A-\vec x=(-2,0,-2,2)$
$Y=B-\vec y+\vec z=(-1,1,1,1)$
Tieto dva body určujú strednú priečku.

Môžeme skontrolovať, že bod $Y$ naozaj vyhovuje rovniciam určujúcim rovinu $\alpha$.
Takisto vidíme, že vektor $\overrightarrow{XY}=(1,1,3,-1)$ je kolmý na priamku $p$ aj na rovinu $\alpha$.

Skúsme to isté zrátať trochu inak.

Ak už vieme, že $V_\alpha=[(2,1,-1,0),(1,0,0,1)]$ a $V_p=[(3,2,-1,2)]$, tak môžeme nájsť bázu priestoru $V_p+V_\alpha$:
$\begin{pmatrix}
2 & 1 &-1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 2 &-1 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 &-1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 &-1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 &-1 &-3 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}$
Z toho vidíme, že $(V_p+V_\alpha)^\bot=[\vec n]$ pre $\vec n=(1,1,3,-1)$.

Našli sme teda smerový vektor strednej priečky.

Súčasne vieme, že jeden z bodov strednej priečky je bod na priamke, teda bod tvaru $A+a\vec x$ pre $A=(1,2,-3,4)$ a $\vec x=(3,2,-1,2)$.

Chceme nájsť taký bod na priamke, že keď k nemu pripočítame vhodný násobok vektoru $\vec n$, tak dostaneme bod ležiaci v rovine.

T.j. pýtame sa pre aké $a,b\in\mathbb R$ bude bod tvaru
$$A+a\vec x+b\vec n = (1,2,-3,4)+ a(3,2,-1,2)+b(1,1,3,-1) = (1+3a+b,2+2a+b,-3-a+3b,4+2a-b)$$
patriť rovine určenej rovnicami
\begin{align*}
x_1+2x_3-x_4&=0\\
x_2+x_3&=2
\end{align*}
Po dosadení dostaneme
\begin{align*}
-9-a+8b&=0\\
-1+a+4b&=2
\end{align*}
ktorej riešenie nám dá $a=-1$, $b=1$.

Dostávame body
$X=A-\vec x=(-2,0,-2,2)$
$Y=X+\vec n=(-1,1,1,1)$
t.j. rovnaké ako pri predošlom postupe.