msleziak.com

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Vo všetkých 4 skupinách bolo rovnaké zadanie, líšilo sa iba voľbou zobrazenia $f$.

Pre zadané afinné zobrazenie $(f,\varphi)\colon (\mathbb R^4,\mathbb R^4)\to(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$ nájdite množinu bodov $B=\{x\in\mathbb R^4; f(x)=x\}$, ktoré toto afinné zobrazenie nemení. Tvoria tieto body afinný podpriestor $\mathbb R^4$? Ak áno, tak nájdite jeho parametrické a všeobecné vyjadrenie a zistite, akú má dimenziu.
A: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+2x_1+x_2+x_3+2x_4,3+x_1+3x_2+x_3+x_4,1+x_1+3x_3+2x_4,x_2-x_3+x_4)$
B: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3+2x_1+x_2+x_3+2x_4,1+x_1+2x_2-x_3+x_4,1+x_2+x_3+x_4,2+2x_1+2x_4)$
C: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+2x_1+x_2+x_3+2x_4,1+x_1+2x_2-x_3+x_4,1+x_2+x_3+x_4,1+3x_1+x_2-x_3+3x_4)$
D: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+3x_1+x_2+x_3+x_4,1+x_1+2x_2-x_3+2x_4,1+2x_2+x_3+3x_4,1+3x_1+x_4)$

(Omylom som dal v písomke v skupinách C a D to isté zadanie; toto čo som napísal sem som mal pripravené pôvodne.)

Výsledky

V podstate sa stačí pozrieť na to, že uvedená podmienka dá nejakú sústavu lineárnych rovníc s neznámymi $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ a túto sústavu vyriešiť.
Vo všetkých skupinách bolo zadanie urobené tak, že množina riešení tejto sústavy je priamka v $\mathbb R^4$.
A: Priamka $(3,-2,-2,0)+[(-4,1,1,1)] = (-1,-1,-1,1)+[(-4,1,1,1)]$.
B: Priamka $(-1,-1,-1,0)+[(1,2,1,-2)]$
C: Priamka $(0,-1,0,0)+[(1,2,1,-2)]$
D: Priamka $(-\frac13,0,0,-\frac13)+[(0,-3,1,2)]$
To, čo som uviedol, nám dáva parametrické vyjadrenie. Všeobecné vyjadrenie je vlastne sústava rovníc, ktorú sme riešili. (Alebo ešte lepšie - sústava, ktorá nám vyšla po úprave. Pre ňu totiž vieme, že tam nemáme rovnice "navyše", ktoré sú lineárne kombinácie ostatných.)

Riešenie

Skúsme detailnejšie napísať riešenie aspoň pre jednu skupinu. Môžeme skúsiť napríklad skupinu B.

Hľadáme body také, pre ktoré platí:
\begin{align*}
3+2x_1+x_2+x_3+2x_4&=x_1\\
1+x_1+2x_2-x_3+x_4&=x_2\\
1+x_2+x_3+x_4&=x_3\\
2+2x_1+2x_4&=x_4
\end{align*}
Po úprave dostaneme:
\begin{align*}
x_1+x_2+x_3+2x_4&=-3\\
x_1+x_2-x_3+x_4&=-1\\
x_2+x_4&=-1\\
2x_1+x_4&=-2
\end{align*}

Už teraz vieme povedať, že množina riešení tvorí afinný podpriestor. (Vieme, že množina riešení hocijakého lineárneho systému je afinný podpriestor.)

Riešením sústavy dostaneme:
$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 &-3 \\
1 & 1 &-1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
2 & 0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 &-2 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
2 & 0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac12 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac12 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$

Z toho vidíme, že riešenia tejto sústavy sú presne
\begin{align*}
x_1&=-1-\frac12t\\
x_2&=-1-t\\
x_3&=-1-\frac12t
\end{align*}
Toto je parametrické vyjadrenie hľadanej množiny. Súčasne vidíme, že dimenzia je $1$ a ide o priamku.

Ako všeobecné vyjadrenie môžeme zobrať pôvodnú sústavu rovníc, ktorú sme riešili. Alebo aj poslednú sústavu rovníc, ktorá nám vyšla:
\begin{align*}
x_1+\frac12x_4&=-1\\
x_2+x_4&=-1\\
x_3+\frac12x_4&=-1
\end{align*}
(Takáto odpoveď je o čosi lepšia v tom, že ak sme tam dali všetky štyri pôvodné rovnice, tak sme tam mali jednu rovnicu "navyše" - vyplýva z troch ostatných.)

Bodovanie

Myslím si, že táto úloha bola v tejto písomke najľahšia. Akonáhle rozumiete zadaniu, tak stačilo vyriešiť sústavu rovníc a zapísať množinu riešení tejto sústavy. (To sú veci, ktoré sme sa naučili rátať počas minulého semestra.) Napriek tomu nedopadla veľmi dobre.

Veľa z vás namiesto úlohy $f(x)=x$ rátalo úlohu $f(x)=0$. Ak ste dostali správny výsledok, tak som dal aj za takéto riešenie 2 body, ak nesprávny, tak 1 bod. (Aj keď prísne vzaté by som asi mal dávať za takéto niečo 0 bodov, keďže ste vlastne rátali niečo iné než to, čo bolo zadané. Čo znamená, že ste si buď zle prečítali zadanie, alebo ste ho nesprávne pochopili.)

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

Niektorí z vás namiesto úlohy nájsť také body, pre ktoré $f(x)=x$ riešili úlohu nájsť body, pre ktoré $f(x)=0$. (V tomto prípade vyšiel jediný bod, takže parametrické a všeobecné vyjadrenie je potom veľmi jednoduché.)

Viacerí ste napísali, že dostanete afinný podpriestor dimenzie $4$. Ak by to bola pravda, tak by to bolo celé $\mathbb R^4$. Veľmi ľahko sa dá skontrolovať, že to tak nie je; skúste si napríklad overiť, že $f(1,0,0,0)\ne(1,0,0,0)$.

Našli sa riešenie kde ste ako všeobecné vyjadrenie napísali niečo, čo malo 1 rovnicu (hoci parametrické vyjadrenie bolo správne).
Ak mám $\mathbb R^n$ vyjadrený pomocou $k$ lineárne nezávislých rovníc, tak jeho dimenzia je $(n-k)$. Teda ak by naozaj stačila 1 rovnica, bol by to 3-rozmerný podpriestor. (Takto to nevyjde v žiadnej zo skupín.)