Bonus - priemet na uhlopriečku $n$-rozmernej kocky
Posted: Sun Apr 17, 2016 4:06 pm
Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.
Riešenie.
Priamka $OA$ má smerový vektor $\overrightarrow{OA}=(1,1,\dots,1)$.
Jednotkový vektor v tom istom smere je $\vec u = \frac1{\sqrt n}(1,1,\dots,1)$.
Ak $X=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ je niektorý vrchol kocky, tak priemet do smeru vektora $\vec u$ má veľkosť
$$\langle \overrightarrow{OX}, \vec u \rangle = \frac1{\sqrt n}(a_1+a_2+\dots+a_n).$$
Keďže čísla $a_i$ sú iba nuly alebo jednotky, tak ako súčet $a_1+a_2+\dots+a_n$ môžeme dostať hodnotu $k=0,1,\dots,n$. Konkrétne nám vyjde $k$ pre tie vektory, ktoré majú $k$ jednotiek (a ostatné súradnice sú nuly).
Takže priemety sú presne body so súradnicami
$$\frac{k}{\sqrt n}\cdot \frac1{\sqrt n}(1,1,\dots,1) = \frac{k}{n}(1,1,\dots,1).$$
pre $k=0,1,\dots,n$.
Skutočne dostávame presne $(n+1)$ bodov a vzdialenosť medzi susednými bodmi je $\frac{|(1,1,\dots,1)|}n=\frac{\sqrt n}n=\frac1{\sqrt n}$.
$\square$
Iné riešenie
Jednoducho si môžeme všimnúť, že všetky nadroviny tvaru
$$x_1+x_2+\dots+x_n=k$$
kde $k=0,1,\dots,n$ sú kolmé na vektor $\overrightarrow{OA}$.
Súčasne každý vrchol kocky je obsiahnutý v niektorej takejto nadrovine. (Konkrétne pre $k$ rovné počtu jednotiek v jeho vyjadrení.) Teda priemet na diagonálu je prienik diagonály s takouto nadrovinou.
Tieto nadroviny sú rovnobežné a vzdialenosti medzi susednými nadrovinami sú rovnaké.
$\square$
Môžeme si ešte všimnúť, že vždy $\binom kn$ bodov bude mať rovnaký priemet. (Čo súhlasí s tým, že spolu máme $2^n$ vrcholov kocky.)
Toto si aspoň v dvojrozmere a trojrozmere viete asi aj celkom dobre predstaviť.
Ak si nakreslíte štvorec, tak vidíte, že dva vrcholy neležiace na diagonále dajú ten istý priemet.
Podobne v $\mathbb R^3$ tri body kocky susediace s bodom $O$ dajú rovnaký priemet. Podobne majú rovnaký priemet traja susedia bodu $A=(1,1,1)$.
Zdôvodnenie, že to rovnako funguje v ľubovoľnej kocke, vyplýva za toho. Že môžeme počítať v súradnicovom systéme určený vrcholom $O$ a vektormi danými hranami $n$-rozmernej kocky. (Vektory v tomto súradnicovom systéme sú na seba kolmé. Čiže takéto niečo neovplyvní uhly. Mohli by sa zmeniť vzdialenosti; ale iba tak, že sa všetky vzdialenosť preškálujú tým istým faktorom.)
Asi je rozumné nakresliť si obrázok; najlepšie je začať $\mathbb R^2$, kde ide o štvorec a vieme si to dobre predstaviť.Uvažujme jednotkovú $n$-rozmernú kocku. (T.j. vrcholy tejto kocky sú body tvaru $(a_1,a_2,\dots,a_n)$, kde $a_i\in\{0,1\}$ pre každé $i=1,2,\dots,n$.) Zoberme jej hlavnú diagonálu určenú bodmi $O=(0,0,\dots,0)$ a $A=(1,1,\dots,1)$.
Dokážte, že kolmé priemety vrcholov kocky na diagonálu $OA$ určia $(n+1)$ bodov takých, že vzdialenosť susedných bodov je presne $n$-tina dĺžky diagonály. (T.j. tieto body delia úsečku $OA$ na $n$ rovnako dlhých častí.)
Platilo by rovnaké tvrdenie aj pre ľubovoľnú kocku v $\mathbb R^n$?
Riešenie.
Priamka $OA$ má smerový vektor $\overrightarrow{OA}=(1,1,\dots,1)$.
Jednotkový vektor v tom istom smere je $\vec u = \frac1{\sqrt n}(1,1,\dots,1)$.
Ak $X=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ je niektorý vrchol kocky, tak priemet do smeru vektora $\vec u$ má veľkosť
$$\langle \overrightarrow{OX}, \vec u \rangle = \frac1{\sqrt n}(a_1+a_2+\dots+a_n).$$
Keďže čísla $a_i$ sú iba nuly alebo jednotky, tak ako súčet $a_1+a_2+\dots+a_n$ môžeme dostať hodnotu $k=0,1,\dots,n$. Konkrétne nám vyjde $k$ pre tie vektory, ktoré majú $k$ jednotiek (a ostatné súradnice sú nuly).
Takže priemety sú presne body so súradnicami
$$\frac{k}{\sqrt n}\cdot \frac1{\sqrt n}(1,1,\dots,1) = \frac{k}{n}(1,1,\dots,1).$$
pre $k=0,1,\dots,n$.
Skutočne dostávame presne $(n+1)$ bodov a vzdialenosť medzi susednými bodmi je $\frac{|(1,1,\dots,1)|}n=\frac{\sqrt n}n=\frac1{\sqrt n}$.
$\square$
Iné riešenie
Jednoducho si môžeme všimnúť, že všetky nadroviny tvaru
$$x_1+x_2+\dots+x_n=k$$
kde $k=0,1,\dots,n$ sú kolmé na vektor $\overrightarrow{OA}$.
Súčasne každý vrchol kocky je obsiahnutý v niektorej takejto nadrovine. (Konkrétne pre $k$ rovné počtu jednotiek v jeho vyjadrení.) Teda priemet na diagonálu je prienik diagonály s takouto nadrovinou.
Tieto nadroviny sú rovnobežné a vzdialenosti medzi susednými nadrovinami sú rovnaké.
$\square$
Môžeme si ešte všimnúť, že vždy $\binom kn$ bodov bude mať rovnaký priemet. (Čo súhlasí s tým, že spolu máme $2^n$ vrcholov kocky.)
Toto si aspoň v dvojrozmere a trojrozmere viete asi aj celkom dobre predstaviť.
Ak si nakreslíte štvorec, tak vidíte, že dva vrcholy neležiace na diagonále dajú ten istý priemet.
Podobne v $\mathbb R^3$ tri body kocky susediace s bodom $O$ dajú rovnaký priemet. Podobne majú rovnaký priemet traja susedia bodu $A=(1,1,1)$.
Zdôvodnenie, že to rovnako funguje v ľubovoľnej kocke, vyplýva za toho. Že môžeme počítať v súradnicovom systéme určený vrcholom $O$ a vektormi danými hranami $n$-rozmernej kocky. (Vektory v tomto súradnicovom systéme sú na seba kolmé. Čiže takéto niečo neovplyvní uhly. Mohli by sa zmeniť vzdialenosti; ale iba tak, že sa všetky vzdialenosť preškálujú tým istým faktorom.)