msleziak.com

Skupina A

Dokážte, že ak matice $A$ a $B$ sú podobné, tak aj matice $A^2$ a $B^2$ sú podobné.

Skupina B

Dokážte, že ak $A$ a $B$ sú podobné matice, ktoré sú navyše regulárne, tak aj matice $A^{-1}$ a $B^{-1}$ sú podobné.

Ak si chcete pozrieť podobné príklady z písomky z minulého roku: viewtopic.php?t=643

Riešenie

Skupina A:
Ak $A$ a $B$ sú podobné, tak pre nejakú regulárnu maticu $P$ platí
$$B=PAP^{-1}.$$
Potom pre maticu $B^2$ dostaneme
$$B^2 = B\cdot B = (PAP^{-1})(PAP^{-1}) = PA(P^{-1}P)AP^{-1}=PA\cdot AP^{-1} = PA^2P^{-1}.$$
Teda $B^2$ a $A^2$ sú podobné.

Asi vcelku ľahko vidno, že takéto niečo by platilo aj pre $A^n$ a $B^n$. (Dokázať by sme to mohli indukciou.)

Skupina B:
Ak vieme, že $B=PAP^{-1}$ a navyše $A$ aj $B$ sú regulárne, tak máme
$$A^{-1} = (PAP^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} A^{-1} P^{-1} = PA^{-1}P^{-1}.$$
Tým sme ukázali, že $A^{-1}$ a $B^{-1}$ sú podobné.

Chyby v riešeniach

Dôležité je nezabudnúť na výmenu poradia pri invertovaní. T.j. vieme, že pre regulárne matice platí $(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$. Podobne to funguje pri invertovaní zloženej funkcie: $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Alebo aj pri inverznom prvku v grupe.

Ak ukážete o nejakých dvoch maticiach, že majú rovnakú stopu, determinant, charakteristický polynóm, tak z toho ešte nevyplýva, že sú podobné.
Na cvičeniach sme videli viacero kontrapríkladov. Zoberte si napríklad $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ a $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. (Sú tieto matice podobné? Majú rovnakú stopu, determinant, minimálny polynóm?)

Neplatí takáto vec:
$B=PAP^{-1}$ $\Rightarrow$ $B^2=P^2A^2P^{-2}$
Také niečo by sme mohli urobiť iba v prípade, že by uvedené matice komutovali. T.j. ak by platilo $AP=PA$. (Z tejto rovnosti vyplýva už aj $AP^{-1}=P^{-1}A$. Takže naozaj komutujú všetky matice, ktoré tam vystupujú a v tomto prípade by sme mohli prepísať uvedený súčin ako $B^2=PAP^{-1}PAP^{-1}=PAPP^{-1}AP^{-1}=PPAP^{-1}AP^{-1}=PPAAP^{-1}P^{-1}=P^2A^2P^{-2}$. Myslím si však, že úpravy, ktoré som uviedol vyššie boli jednoduchšie a navyše nebolo treba komutatívnosť - teda platia pre ľubovoľné matice.)