Ortogonálna podobnosť

[Martin Sleziak]

Vieme, že pre každú symetrickú maticu $A$ existujú ortogonálna matica $P$ a diagonálna matica $D$ také, že $$PAP^T=D.$$
Poďme sa pozrieť na to, ako pre zadanú maticu $A$ vieme nájsť takéto matice $P$ a $D$.

Pripomeňme, že štvorcová matica $P$ je ortogonálna, ak $P=P^{-1}$, t.j. $PP^T=I$.
To vlastne znamená, že riadky matice $P$ sú vektory veľkosti $1$, ktoré sú navzájom na seba kolmé.

Všimnime si, že súčasne máme $PAP^{-1}=D$, čo je úloha, ktorú už vieme riešiť. (Vieme, že $D$ má na diagonálne vlastné čísla a $P$ má ako riadky vlastné vektory.) Zmenilo sa iba to, že tu máme navyše ďalšie požiadavky na riadky matice $P$.

Pre maticu
$$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 2 \\
2 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$
nájdite ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^T=D$.

Vypočítajme najprv charakteristický polynóm
$\chi_A(x)=\det(xI-A)=
\begin{vmatrix}
x &-1 &-2 \\
-1 & x &-2 \\
-2 &-2 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
x+1&-1-x& 0 \\
-1 & x &-2 \\
-2 &-2 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 &-1 & 0 \\
-1 & x &-2 \\
-2 &-2 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &x-1&-2 \\
0 &-4 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $(x+1)(x^2-9)=$ $(x+1)(x+3)(x-3)$

Zistili sme, že vlastné hodnoty sú $-1$, $-3$ a $3$, čiže
$$D=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 &-3 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
$$

Pre každú vlastnú hodnotu vieme štandardným spôsobom vypočítať vlastné vektory.

V tomto prípade konkrétne dostaneme:
Vlastné vektory pre vlastnú hodnotu $-1$ sú nenulové násobky vektora $\vec a=(1,-1,0)$.
Vlastné vektory pre vlastnú hodnotu $-3$ sú nenulové násobky vektora $\vec b=(1,1,-2)$.
Vlastné vektory pre vlastnú hodnotu $3$ sú nenulové násobky vektora $\vec c=(1,1,1)$.

Všimnime si, že ľubovoľné dva z vektorov $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ sú navzájom kolmé. (Vieme aj z vety z prednášky, že pre symetrickú maticu budú vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám na seba kolmé.)

Zostáva nám teda už iba každý vektor predeliť veľkosťou. Ak takto získané vektory použijeme ako riadky matice $P$, tak táto matica bude mať požadované vlastnosti.

$$P=
\begin{pmatrix}
\frac1{\sqrt2} &-\frac1{\sqrt2} & 0 \\
\frac1{\sqrt6} & \frac1{\sqrt6} & -\frac2{\sqrt6} \\
\frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3} \\
\end{pmatrix}
$$

[Martin Sleziak]

O niečo komplikovanejšia situácia je, ak máme násobné vlastné hodnoty. Vtedy totiž nemáme zaručené, že dostaneme vlastné vektory, ktoré sú na seba kolmé. (Určite sú však kolmé na vlastné vektory k iným vlastným hodnotám.)

Ak už máme bázu vlastného podpriestoru k nejakej vlastnej hodnote, tak z nej vieme vyrobiť ortogonálnu (resp. ortonormálnu) bázu niektorým zo spôsobov, ktoré sme sa učili v zimnom semestri: viewtopic.php?t=852

Pre maticu
$$A=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}
$$
nájdite ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^T=D$.

Najprv vypočítajme charakteristický polynóm:
$\chi_A(x)=\det(xI-A)=
\begin{vmatrix}
x &-2 &-2 \\
-2 &x-3&-4 \\
-2 &-4 &x-3\\
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
\begin{vmatrix}
x &-2 &-2 \\
-2-2x&x+1& 0 \\
-2 &-4 &x-3\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
x &-2 &-2 \\
-2 & 1 & 0 \\
-2 &-4 &x-3\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
x-4& 0 &-2 \\
-2 & 1 & 0 \\
-10& 0 &x-3\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
x-4& -2 \\
-10& x-3\\
\end{vmatrix}=$ $(x+1)(x^2-7x-8)=$ $(x+1)^2(x-8)$
V kroku (1) som od druhého riadku odpočítal dvojnásobok prvého.

Zistili sme, aké sú vlastné hodnoty a vieme povedať, že
$$D=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 8 \\
\end{pmatrix}
$$
Chceme nájsť ešte aj maticu $P$.

Vlastné vektory k vlastnému číslu $8$ sú nenulové vektory z $[(1,2,2)]$.
Vlastný podpriestor k vlastnému číslu $-1$ je $[(2,-1,0),(0,1,-1)]$.

Všimnime si, že každý vlastný vektor k $-1$ je kolmý na $(1,2,2)$, t.j. na vlastný vektor k osmičke. (Tento fakt môžeme využiť aj pri hľadaní vlastných vektorov. Alebo obrátene, ak sme vlastné vektory vypočítali iným spôsobom, poslúži nám to ak kontrola.)

Vektor $(2,-1,0)$ a $(2,0,-1)$ však nie sú na seba kolmé. My chceme nájsť ortogonálnu (resp. ortonormálnu) bázu tohoto podpriestoru.
Ako som už spomenul, môžeme využiť viacero postupov, ktoré sme sa učili: viewtopic.php?t=852
Napríklad môžeme hľadať vektor, ktorý je kolmý na $(1,2,2)$ aj $(0,1,-1)$.
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}$
Riešením homogénnej sústavy rovníc sme našli vektor $(-4,1,1)$.

Teda vektory $(1,2,2)$, $(-4,1,1)$, $(0,1,-1)$ už tvoria bázu priestoru $\mathbb R^3$, ktorá je zložená z vlastných vektorov a navyše sú aj na seba kolmé.
Ak každý z nich ešte vynormujeme, tak dostaneme ortonormálnu bázu a z nej ortogonálnu maticu
$$P=
\begin{pmatrix}
-\frac2{\sqrt3} & \frac1{2\sqrt3} & \frac1{2\sqrt3} \\
0 & \frac1{\sqrt2} &-\frac1{\sqrt2} \\
\frac13 & \frac23 & \frac23 \\
\end{pmatrix}
$$
Opäť pripomeniem, že vlastné vektory do $P$ musím poukladať v rovnakom poradí, ako som dal vlastné hodnoty na diagonálu matice $D$.
Z postupu, ktorým sme ju vyrátali, by mohlo byť jasné aj to, že matice $P$ nie je jednoznačne určená.