msleziak.com

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Skupina A

Nájdite Jordanov tvar a minimálny polynóm matice
$$A=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 & 0 \\
-2 &-1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 4 & 3 \\
-2 &-2 &-3 &-2 \\
\end{pmatrix}
$$

Skupina B

Nájdite Jordanov tvar a minimálny polynóm matice
$$A=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 & 0 \\
-2 &-1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 4 \\
-2 &-2 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Tu si môžete pozrieť úlohu na Jordanov tvar, ktorá bola na písomke minulý školský rok: viewtopic.php?t=682

Výsledky

Skupina A: $J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$m_A(t)=(t-1)^2$

Skupina B: $J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$m_A(t)=(t-1)^3$

Riešenie

Aspoň pre skupinu A napíšem aj detailné riešenie. Postup v druhej skupine je analogický.

Ale v podstate ide iba o úplne štandardný postup, ktorý používame pri výpočte Jordanovho tvaru. Takéto príklady sme riešili na cviku a niečo je aj na fóre: viewtopic.php?t=656

Pri výpočte charakteristického polynómu sa oplatí využiť to, že pre blokové matice máme:
$$
\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|
$$
(Vyrátať sa dá aj bez toho, ale takto je to určite jednoduchšie.)

Charakteristický polynóm

$\chi_A(x)=(x-1)^4$
Teda vieme, že $J$ má na diagonálne jednotky. Stále nevieme, na koľko Jordanových blokov bude Jordanov tvar rozdelený.

Výpočet pomocou mocnín $A-\lambda I$.
Jeden z postupov ako sme sa učili nájsť Jordanov tvar, je pozerať sa na mocniny matice $A-\lambda I$ pre každé vlastné číslo.
V našom prípade dostaneme $h(A-I)=2$ a $(A-I)^2=0$.
Z toho, že $h(A-I)=2$ vieme, že Jordanov tvar bude mať $4-2=2$ bloky.
Rozdiel $h(A-I)-h((A-I)^2)=2-0=2$ mi hovorí, že dva bloky majú veľkosť aspoň $2$.
Teda Jordanov tvar je:
$J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Ak už poznáme Jordanov tvar, tak z neho vieme vyčítať minimálny polynóm. Alebo ho vieme zistiť jednoducho aj z toho, že $(A-I)^2=0$.
(V skupine B by sme analogickými výpočtami dospeli k tomu, že máme iba jeden blok veľkosti aspoň $2$. Z toho už je jasné, že naše dva bloky musia byť veľkosti $3$ a $1$, a teda vieme jednoznačne napísať Jordanov tvar.)

Výpočet cez vlastné vektory.
Iná možnosť je hľadanie vlastných vektorov a zovšeobecnených vlastných vektorov.
Riešením sústavy s maticou $(A-I)^T$ dostaneme, že vlastný podpriestor k vlastnej hodnote $1$ je dvojrozmerný: $[(1,1,0,0),(0,0,1,1)]$.
To nám hovorí, že pre túto vlastnú hodnotu mám dva Jordanove bloky. Ďalej sa môžeme pýtať na zovšeobecnené vlastné vektory. T.j. pýtame sa, či pre každý vlastný vektor existuje k nemu prislúchajúci zovšeobecnený vlastný vektor.
To znamená, že opäť riešime sústavu s maticou $(A-I)^T$, lenže teraz pravá strana nie je nulový vektor, ale ľubovoľný vlastný vektor. Zistili sme, že táto sústava má riešenie pre každý vlastný vektor. Teda každý blok má veľkosť aspoň $2$. Táto informácia nám stačí na zapísanie Jordanovho tvaru.

(V skupine B nám pri analogických výpočtoch vyjde jedna dodatočná podmienka na parametre $a$, $b$ nutná na to, aby mala sústava riešenie. Inak povedané, tie vlastné vektory ku ktorým existuje zovšeobecnený vlastný vektor tvoria jednorozmerný podpriestor. Toto mi hovorí, že v Jordanovom tvare budem mať iba jediný blok veľkosti dva alebo väčšej. A to už je dostatok informácii na to, aby sme vedeli napísať Jordanov tvar.)

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

Charakteristický polynóm matice $n\times n$. Ak sa vám teda stalo, že vám v tejto úlohe vyšiel polynóm nižšieho stupňa, tak by z toho malo byť jasné, že treba niekde hľadať chybu.
Takisto by ste mali vedieť, že vedúci koeficient v charakteristickom polynóme musí vyjsť $1$. Ak dostanete niečo, čo nezačína $\chi_A(t)=t^4+\dots$, tak by ste tiež mali vedieť, že je niekde problém.

Niektorým z vás sa stalo, že ste chybne vyrátali vlastné hodnoty. Konkrétne napríklad v jednej písomke vyšlo po chybe vo výpočte $\chi_A(t)=(t-1)^2(t+1)(t-3)$.
Dve poznámky k tomu, čo ste potom rátali ďalej:
* Ak by charakteristický polynóm bol takýto, tam možnosti pre minimálny polynóm sú iba $(t-1)^2(t+1)(t-3)$ alebo $(t-1)(t+1)(t-3)$. Minimálny polynóm musí totiž vždy obsahovať všetky vlastné hodnoty.
* Ak ste rátali napríklad hodnosť matice $A-3I$ a zistili ste, že je $h(A-3I)=4$, tak z toho hneď viete, že $3$ nie je vlastné číslo. A teda vo výpočte charakteristického polynómu treba hľadať chybu. (Vieme, že $\lambda$ je vlastné číslo práve vtedy, keď $A-\lambda I$ je singulárna.)

Ešte pridám aj túto linku, kde sú nejaké rady týkajúce sa výpočtu charakteristického polynómu resp. najmä jeho koreňov: viewtopic.php?t=890