Ako nájsť stred kužeľosečky

[Martin Sleziak]

Ak máme krivku druhého rádu zadanú v tvare
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 + 2dx_1 + 2ex_2 + f = 0$$
a chceme ju nakresliť, môže nám pomôcť nájsť jej stred. (To má samozrejme zmysel iba pre krivky hyperbolického a eliptického typu. Parabola nemá stred - vtedy má zmysel hovoriť o vrchole. Ako uvidíte, postupom, ktorý si vysvetlíme tu, by sme nenašli vrchol paraboly.)

Zatiaľ sem skúsim napísať návod ako nájsť stred kužeľosečky a pár konkrétnych príkladov. Ak budem mať čas, môžem dopísať o niečo viac o tom, prečo to vlastne funguje.

Návod na nájdenie stredu

Pripomeňme, že z prednášky viete, že typ krivky
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 + 2dx_1 + 2ex_2 + f = 0$$
môžu pomôcť určiť invarianty
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
a & b & d \\
b & c & e \\
d & e & f \\
\end{vmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\delta=
\begin{vmatrix}
a & b \\
b & c \\
\end{vmatrix}.
$$
(Upozorním na to, že tak ako sme zvyknutí aj pri kvadratických formách, niektoré koeficienty sme tu delili dvomi. Napríklad $2bx_1x_2$ z rovnice krivky nám dalo dva symetrické výskyty čísla $b$ v maticiach.)
Navyše vieme aj to, že pre krivky hyperbolického a eliptického typu je $\delta\ne0$. (Už som prezradil, že tento návod nefunguje pre parabolu. Nižšie bude aj vidno, prečo pre $\delta=0$ postup, ktorý napíšem, nefunguje.)

Platí takéto niečo:

Máme krivku
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 + 2dx_1 + 2ex_2 + f = 0$$
pričom platí $\delta=ac-b^2\ne0$.

Ak vyriešime sústavu rovníc
\begin{align*}
ax_1+bx_2+d&=0\\
bx_1+cx_2+e&=0
\end{align*}
tak jej riešenie je presne stred našej krivky.

Navyše ak napíšeme rovnicu tejto krivky v nových súradniciach, ktoré vzniknú posunutím do stredu krivky, tak v tejto súradnicovej sústave je rovnica tej istej krivky
$$ay_1^2+2by_1y_2+cy_2^2 + f' = 0$$
(pričom hodnota $f'$ môže byť iná ako hodnota $f$.)

Asi by sa patrilo pár drobných komentárov.

Táto sústava rovníc sa ľahko zapamätá - všimnite si, že sme vlastne iba zobrali prvé dva riadky matice, ktorá vystupuje v determinante $\Delta$.

Dôležité je ale nezabudnúť, že ak sme iba takto odpísali čísla, tak sme ich všetky dávali na ľavú stranu týchto rovníc.
Ak by ste tú istú sústavu chceli napísať tak ako sme zvyknutí, t.j. naľavo sú neznáme a napravo čísla, tak sa zmení znamienko:
\begin{align*}
ax_1+bx_2&=-d\\
bx_1+cx_2&=-e
\end{align*}

Ďalšia vec, ktorú sa oplatí si všimnúť, je že matica tejto sústavy je
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c \\
\end{pmatrix}.
$$
Ak determinant tejto matice $\delta\ne0$, tak je to regulárna matica a táto sústava má práve jedno riešenie.
V prípade $\delta=0$ by sme mohli dostať nekonečne veľa riešení alebo prázdnu množinu riešení. Už som ale spomenul, že pre $\delta=0$, čo zodpovedá krivke parabolického typu, tento postup nefunguje. Pre paraboly budeme postupovať inak.
Ale aspoň pre krivky eliptického a hyperbolického typu nájdeme takto naozaj práve jeden bod; uvedená sústava má práve jedno riešenie.
(Krivkám eliptického a hyperbolického typu sa niekedy hovorí aj stredové kužeľosečky. Čo je asi vcelku prirodzené pomenovanie - na rozdiel od parabol majú elipsa aj hyperbola stred, podľa ktorého sú stredovo symetrické.)

Ako to pomôže pri kreslení?

Ak poznáme súradnice stredu, tak si môžeme nakresliť novú súradnicovú sústavu, ktorej osi sú rovnobežné s osami pôvodnej sústavy, ale prechádza stredom.
V tejto sústave už máme jednoduchšiu rovnicu:
$$ay_1^2+2by_1y_2+cy_2^2 + f' = 0$$
Zbavili sme sa lineárnych členov. (Zatiaľ však nepoznáme $f'$.)

Stále na nakreslenie krivky v novej súradnicovej sústave je treba nejakú ďalšiu prácu. (Napríklad nájsť ktorým smerom idú osi elipsy či hyperboly. Takisto by sme chceli nájsť nejaké body ležiace na osi elipsy/hyperboly, aby sme ju vedeli načrtnúť.)
Ale aspoň máme už teraz našu krivku umiestnenú tak, že počiatok súradnicovej sústavy je stred. Tomu, ako postupovať ďalej, sa budeme venovať v samostatnom poste.

Prečo to vlastne funguje?

Neskôr - ak budem mať čas - sem možno skúsim napísať niečo viac. (A azda sa o tom aspoň trochu porozprávame aj na cviku.) Zatiaľ iba pridám nejaké linky:
* Why does partial differentiation give centre of a conic?
* How to find the center of a conic section from the equation?

[Martin Sleziak]

Pár konkrétnych príkladov

Sem len pridám pár príkladov kužeľosečiek. Tiež pridám odkaz na WolframAlpha, aby ste si mohli pozrieť obrázok, kde sú načrtnuté priamky prienikom, ktorých sme našli streda a tiež osi kužeľosečky.
(A samozrejme na WolframAlpha alebo použitím iného softvéru si môžete skúšať kresliť podobné krivky a pozrieť sa na to, čo sa deje, ak zvolíte iné parametre.)

******

Rovnica $3x_1^2-10x_1x_2+3x_2^2+4x_1+4x_2-3=0$ určuje hyperbolu. Jej stred nájdeme riešením sústavy
\begin{align*}
3x_1-5x_2+2&=0\\
-5x_1+3x_2+2&=0
\end{align*}
a je to bod $(1,1)$.

Tento obrázok zobrazuje túto hyperbolu a priamky zodpovedajúce uvedeným dvom rovniciam.
Na tomto obrázku je nakreslená tá istá hyperbola s osami a asymptotami.

*****

Rovnica $6x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2+20x_1-16x_2-198=0$ určuje elipsu. Jej stred nájdeme riešením sústavy
\begin{align*}
6x_1-2x_2+10&=0\\
-2x_1+3x_2-8&=0
\end{align*}
a stredom je bod $(-1,2)$.

Opäť na WolframAlpha si môžete pozrieť ako vyzerá táto elipsa. Sú tam aj dve priamky z predošlej sústavy a osi tejto elipsy.

*****

Rovnica $2x_1^2+2x_1x_2+\frac{x_2^2}2+2x_1+2x_2+1=0$ určuje parabolu.
Ak sa pokúsime riešiť sústavu
\begin{align*}
2x_1+x_2+1&=0\\
x_1+\frac{x_2}2+1&=0
\end{align*}
tak zistíme, že nemá riešenie.

Na WolframAlpha si môžete pozrieť, ako vyzerá táto parabola a priamky z tejto sústavy.