Možno si skúsme uvedomiť, čo vlastne všetko by bolo dobré nájsť, ak chceme načrtnúť elipsu: Osi a stred a aj dĺžky poloosí elipsy.
Typ krivkyZistite typ krivky. Nájdite jej stred a osi. Načrtnite ju.
$$2x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2+8x_1-2x_2+9=0.$$
Ak chceme zistiť iba typ krivky, tak nám vlastne stačí pozrieť sa na
$$\delta=
\begin{vmatrix}
2 &-2 \\
-2 & 5 \\
\end{vmatrix}=6>0$$
Teda ide o krivku eliptického typu. (Bude to elipsa, bod, alebo prázdna množina.)
Môžeme vyrátať aj stopu tejto matice $s=2+5=7$.
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
2 &-2 & 4 \\
-2 & 5 &-1 \\
4 &-1 & 9 \\
\end{vmatrix}=-12
$$
Spoiler:
Už teraz vieme povedať, že po vhodnom otočení a posunutí sa táto krivka dostane do tvaru
$$\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\frac{\Delta}{\delta}=0,$$
kde $\lambda_{1,2}$ sú vlastné čísla. Na základe takejto rovnice by sme vedeli nakresliť túto krivku v novej súradnicovej sústave. Ak ju však chceme nakresliť vzhľadom na pôvodné súradnice $x_1$ a $x_2$, tak potrebujeme vedieť povedať niečo o otočení a posunutí, ktoré prevedie rovnicu krivky na jednoduchší tvar.
Chceli by sme teda nájsť ako treba krivku posunúť a otočiť, aby sme sa dostali ku "krajšej" rovnici.
Nájdenie stredu
Začnime tým, že chceme nájsť vhodné posunutie. (Ak už vieme, že ide o elipsu, tak vlastne hľadáme stred elipsy. Rovnakým spôsobom by sme našli stred hyperboly, resp. krivky hyperbolického typu. Pri parabole budeme musieť postupovať trochu inak.)
Ako nájsť stred sme si už povedali tu: viewtopic.php?t=901
Stred nájdeme riešením sústavy
\begin{align*}
2x_1-2x_2+4&=0\\
-2x_1+5x_2-1&=0
\end{align*}
(Tieto čísla sme zobrali z prvých dvoch riadkov matice, ktorú sme použili na výpočet $\Delta$. Treba dať pozor a nepomýliť sa v tom, že sme čísla $4$ a $-1$ dali na ľavú stranu. Inak povedané, ak zapíšeme sústavu tak ako sme zvyknutý - že máme neznáme na jednej strane a čísla na druhej - tak sa zmenia znamienka, t.j. máme rovnice $2x_1-2x_2=-4$ a $-2x_1+5x_2=1$.)
Riešením sústavy je $x_1=-3$, $x_2=-1$. Stred elipsy je v bode $S\equiv (-3,-1)$.
Poďme sa pozrieť na to, ako vyzerá rovnica elipsy po posunutí takom, aby počiatok novej súradnicovej sústavy bol práve v bode $S$. T.j. zavedieme nové súradnice:
\begin{align*}
y_1&=x_1+3\\
y_2&=x_2+1
\end{align*}
Prechod súradníc opačným smerom je
\begin{align*}
x_1&=y_1-3\\
x_2&=y_2-1
\end{align*}
Skúsme naozaj dosadiť tieto rovnosti do zadanej rovnice krivky. Dostaneme:
\begin{align*}
2x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2+8x_1-2x_2+9&=\\
2(y_1-3)^2-4(y_1-3)(y_2-1)+5(y_2-1)^2+8(y_1-3)-2(y_2-1)+9&=\\
2(y_1^2-6y_1+9)-4(y_1y_2-y_1-3y_2+3)+5(y_2^2-2y_2+1)+8(y_1-3)-2(y_2-1)+9&=\\
2y_1^2-4y_1y_2+5y_2^2-2&=0
\end{align*}
Všimnime si, ako sa vlastne zmenila rovnica pri tejto transformácii:
- Členy druhého stupňa zostali rovnaké.
- Kvadratické členy sa nezmenili.
- Absolútny člen nám vyšiel rovný podielu $\frac\Delta\delta$.
Ale azda nie je na škodu, že sme si ukázali na konkrétnom príklade, že to naozaj vychádza takto. A v podstate - ak máte čas alebo to rátate doma, kde celé toto roznásobovanie môžete dať vyrátať počítaču - dá sa na to pozrieť aj ako na akúsi skúšku správnosti.
Každopádne sme sa sme teraz v situácii, že už máme krivku v tvare
$$2y_1^2-4y_1y_2+5y_2^2-2=0.$$
Vypočítali sme aj to, aké posunutie prevedie krivku na takýto tvar.
Stále však z na základe takéhoto tvaru nevieme krivku načrtnúť.
Z vety o hlavných osiach vieme, že to je otočená elipsa. Ale nevieme presne v aké sú smery osí elipsy a ani dĺžky jej poloosí.
Poďme sa teda pozrieť aj na to, čo by sme vedeli povedať o tomto.
Otočenie
Ortogonálne matice $2\times2$ s kladným determinantom sú presne matice otočenia v rovine okolo počiatku súradnicovej sústavy. (A ak by sme pripustili aj záporný determinant, tak by sa iba zmenilo to, že by sme pridali zloženie s nejakou osovou súmernosťou.)
Podľa vety o hlavných osiach vieme, že pre každú symetrická matica $A$ sa dá nájsť ortogonálna matica $P$ tak, aby platilo $PAP^T=D$, kde $D$ je diagonálna matica. Tu sme si aj ukázali ako sa dá taká matica nájsť: viewtopic.php?t=893 (Teraz máme jednoduchšiu situáciu - ideme to robiť iba pre maticu $2\times2$. Navyše máme istotu, že nedostaneme násobnú vlastnú hodnotu; pre symetrickú maticu rozmerov $2\times 2$ by sa to mohlo stať iba ak $A=\lambda I$ pre nejaké $\lambda$; čo je veľmi jednoduchá situácia, v takom prípade by krivka bola kružnica, bod alebo prázdna množina.)
Poďme skúsiť nájsť takú maticu $P$ pre
$$A=
\begin{pmatrix}
2 &-2 \\
-2 & 5 \\
\end{pmatrix}$$
Ak nájdeme vlastné čísla a vlastné vektory, tak zistíme, že
$\lambda_1=1$ je vlastné číslo a vlastné vektory k nemu sú nenulové násobky vektora $(2,1)$.
$\lambda_2=6$ je vlastné číslo a vlastné vektory k nemu sú nenulové násobky vektora $(1,-2)$.
Dostaneme teda $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)=\operatorname{diag}(1,6)$.
Maticu $P$ dostaneme tak, že do prvého riadku dáme násobok vlastného vektora k $\lambda_1$ a do druhého násobok vlastného vektora k $\lambda_2$. Navyše chceme, aby tieto vektory mali veľkosť $1$, čo znamená, že až na znamienko budú určené jednoznačne. Znamienka si môžeme zvoliť tak, aby bol determinant matice $P$ kladný. (Elipsa je symetrická podľa svojich osí, čiže zloženie s osovou súmernosť by nám neovplyvnilo to, ako bude táto elipsa vyzerať. Ale možno je o máličko krajšie, že transformácia súradníc, ktorú napíšeme, že skutočne otočenie.)
Dostaneme takto:
$$P=\frac1{\sqrt5}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
Našli sme teda ortogonálnu maticu takú, že
$$PAP^T=D.$$
Zamyslime sa trochu nad tým, čo to hovorí o našej krivke.
Mali sme krivku vyjadrenú ako $\vec y A \vec y + c = 0$. Po zmene súradníc určenej ako $\vec z P=\vec y$ sa dostaneme k novým súradniciam, kde už bude mať krivka jednoduchší tvar $\vec zD\vec z^T+c=0$. (Využili sme iba to, že $(\vec zP)A(\vec zP)^T=\vec zPAP^T\vec z^T=\vec z D \vec z^T$.)
Konkrétne v našom prípade máme v nových súradniciach
$$z_1^2+6z_2^2-2=0.$$
To je už krivka, ktorú budeme vedieť nakresliť, ak vieme povedať, aké sú smery osí $z_1$, $z_2$.
Vedeli by sme nájsť jednotkový vektor v smere osi $z_1$? Inak povedané, aký vektor má v tejto súradnicovej sústave súradnice $(1,0)$. Pretože transformácia premenných je určená ako $\vec z P=\vec y$, dostanem ho ako $(1,0)P$. Toto je presne prvý riadok matice $P$, a teda vlastný vektor ktorý sme zvolili pre vlastnú hodnotu $\lambda_1=1$.
Teda jednotkový vektor v smere osi $z_1$ má v $y$-ovej sústave súradnice $\frac1{\sqrt5}(2,1)$.
Smer osi $z_2$ je určený pomocou $\frac1{\sqrt5}(-1,2)$.
Vlastné hodnoty a vlastné vektory
To, čo som počítal teraz malo slúžiť sčasti aj na ilustračné účely. (Aby sme videli, že veci fungujú naozaj tak, ako ste si dokázali na prednáške. Azda nie je zlé si všeobecné dôkazy, ktoré ste videli, vyskúšať aj na konkrétnom príklade.)
Vlastne nám stačilo vyrátať stred. (Na to stačí vyriešiť sústavu dvoch rovníc.)
Potom nájdeme vlastné hodnoty a vlastné vektory. Vieme, že elipsa sa dá prepísať do tvaru
$$\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\frac{\Delta}{\delta}=0,$$
pričom os $z_1$ je v smere vlastného vektora k $\lambda_1$ a os $z_2$ je v smere vlastného vektora k $\lambda_2$
Ak sa teda pozrieme na našu krivku v súradnicovej sústave s počiatkom v $S\equiv(-3,-1)$ a smermi osí určenej vlastnými vektormi $\vec v_1=\frac1{\sqrt5}(2,1)$ a $\vec v_2=\frac1{\sqrt5}(-1,2)$, tak v nej máme túto elipsu vyjadrenú ako
\begin{align*}
\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\frac{\Delta}{\delta}&=0\\
z_1^2+6z_2^2-2&=0\\
\frac{z_1^2}2+\frac{z_2}{1/3}&=1
\end{align*}
Ide teda o elipsu.
Poloos v smere vektora $\vec v_1$ má dĺžku $\sqrt 2$.
Poloos v smere vektora $\vec v_2$ má dĺžku $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$.
Teda elipsa pretína hlavnú poloos v bodoch $S\pm\sqrt2\vec v_1 = (-3\pm2\sqrt{10},-1\pm\sqrt{10})$.
Priesečníky s vedľajšou polosou sú $S\pm\frac1{\sqrt3}\vec v_2 = (-3\mp\frac1{\sqrt3},-1\pm\frac2{\sqrt3})$.
Obrázky
Môžeme skúsiť vo WolframAlpha nakresliť elispu a aj osi.
A ešte pridám jeden podobný odkaz, tentoraz tam máme všetky tri "verzie" elipsy, t.j. elipsu $z_1^2+6z_2^2-2=0$, jej otočenie (do smeru určeného vlastnými vektormi) a potom ešte posunutie (ktorým dostaneme hľadanú krivku).