Typ krivkyZistite typ krivky. Nájdite jej stred a osi. Načrtnite ju.
$$9x_1^2-24x_1x_2+16x_2^2-8x_1+19x_2+4=0.$$
Opäť môžeme vyrátať invarianty
$$\delta=
\begin{vmatrix}
9 &-12\\
-12& 16\\
\end{vmatrix}=0$$
Teda ide o krivku parabolického typu. (Bude to parabola, dvojica rovnobežných priamok alebo prázdna množina.)
Prípadne môžeme skúsiť vyrátať aj $\Delta$. (Hoci v tomto prípade nám to povie iba to, či nenastane niektorý z degenerovaných prípadov.)
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
9 &-12&-4 \\
-12& 16&\frac{19}2 \\
-4 &\frac{19}2& 4 \\
\end{vmatrix}=\frac{625}4
$$
Spoiler:
Ak $\delta=0$, tak kvadratická časť bude štvorcom nejakého výrazu. Čiže azda najjednoduchšie je skúsiť doplniť na štvorec.
V tomto prípade dostaneme:
$$9x_1^2-24x_1x_2+16x_2^2 = (3x_1-4x_2)^2.$$
Čiže vidíme, že ak by sme nejako zaviedli nové súradnice, kde $y_1=3x_1-4x_2$, tak tam dostaneme kvadratickú časť v tvare $y_1^2$ a nejakú lineárnu časť, ktorú - dúfajme - budeme už nejako vedieť doupravovať.
Toto ale nie je celkom to čo chceme. My by sme boli radi, keby naša transformácia premenných bola ortogonálna. (Chceme aby to bolo otočenie.)
Na to nám stačí jednoducho predeliť voľbu $y_1$ veľkosťou vektora $(3,-4)$.
Teda použijeme radšej transformáciu
$$y_1=\frac35x_1-\frac45x_2.$$
Pri takejto voľbe $y_1$ je kvadratická časť zadanej rovnice rovná $(3x_1-4x_2)^2=(5y_1)^2=25y_1^2$.
Potrebujeme ešte zvoliť $y_2$. To bude určené nejakým násobkom vektora $(4,3)$. Musí to byť taký násobok, aby bola veľkosť rovná jednej. Teda jediné dve možnosti sú $\pm(\frac45,\frac35)$. Vyberme si tú, pre ktorú bude determinant rovný $1$. (Vtedy ide skutočne o otočenie.)
$$y_2=\frac45x_1+\frac35x_2.$$
Ak máme transformáciu premenných $\vec y=\vec xP$, tak transformáciu premenných opačným smerom dostaneme ako $\vec x=\vec yP^{-1}=\vec yP^T$.
\begin{align*}
x_1 &= \frac35 y_1 + \frac45 y_2\\
x_2 &=-\frac45 y_1 + \frac35 y_2
\end{align*}
Takže lineárnu časť môžeme upraviť ako
\begin{align*}
-8x_1+19x_2
&= -8\left(\frac35 y_1 + \frac45 y_2\right) + 19\left(-\frac45 y_1 + \frac35 y_2\right)=\\
&= -\frac{100}5y_1 + \frac{25}5y_2\\
&= -20y_1 + 5y_2
\end{align*}
V nových súradniciach (ktoré vznikli vhodným otočením) je teda rovnica zadanej paraboly
$$25y_1^2-20y_1-5y_2+4=0.$$
Opäť doplnením na štvorec vieme túto rovnicu upraviť na
\begin{align*}
(5y_1-2)^2+5y_2&=0\\
5y_2&=-25(y_1-\frac25)^2\\
y_2&=-5(y_1-\frac25)^2
\end{align*}
Čiže pre
\begin{align*}
z_1 &= y_1-\frac25\\
z_2 &= y_2
\end{align*}
dostávame v novej súradnicovej sústave vyjadrenie
$$z_2=-5z_1^2.$$
Táto transformácia súradníc zodpovedá posunutiu.
Novú súradnice vieme ľahko vyjadriť aj pomocou pôvodných
\begin{align*}
z_1&=\frac35x_1-\frac45x_2-\frac25\\
z_2&=\frac45x_1+\frac35x_2
\end{align*}
Os a vrchol paraboly
Vrchol paraboly je bod so súradnicami $z_1=z_2=0$. Teda ho môžeme nájsť pomocou rovníc
\begin{align*}
\frac35x_1-\frac45x_2-\frac25&=0\\
\frac45x_1+\frac35x_2&=0
\end{align*}
t.j.
\begin{align*}
3x_1-4x_2&=2\\
4x_1+3x_2&=0
\end{align*}
Riešením tejto sústavy dostaneme teda vrchol paraboly $V=\left(\frac6{25},-\frac8{25}\right)$.
Os paraboly je priamka určená rovnicou $z_1=0$, t.j.
$$3x_1-4x_2=2.$$
Aby sme ju mohli načrtnúť, treba ešte zistiť ktorým smerom je parabola otočená.
Pretože rovnica našej paraboly je $z_2=-5z_1^2$ a pri $z_1^2$ máme zápornú konštantu, bude otočená smerom oproti osi $z_2$. Na parabole by mali ležať také body, kde je súradnica $z_2$ záporná, resp. v prípade vrchola nulová. (Inak povedané, opačným smerom oproti smeru, v ktorom $z_2=\frac45x_1+\frac35x_2$ rastie. T.j. vektor $(4,3)$ je vektor v smere osi $z_1$, naša parabola je otočená opačným smerom.)
Obrázky
Na základe vecí, ktoré sme vypočítali, by sme mali byť schopní načrtnúť parabolu vyzerajúcu zhruba takto.