Nejaká úloha takéhoto typu je vyriešená na fóre: viewtopic.php?t=686
Ale tu to skúsim napísať trochu poriadnejšie. A tiež tak, aby som čo najmenej rátal v súradniciach - t.j. aby som rátal čo najmenej vecí, ktoré sa dajú dostať aj jednoduchšie.
Dá sa povedať, že v tom staršom poste som sa hlavne pozeral na to, či je lepšie krivku najprv posunúť a potom otočiť alebo obrátene. Nezaškodí spraviť nový post, trochu poriadnejšie napísaný.
Alebo inak povedané - máte možnosť porovnať postup, kde všetko rátame zmenami súradníc s postupom, kde využívame to ako vieme vyjadriť hyperbolu pomocou vlastných čísel $\lambda_{1,2}$ a invariantov $\delta$, $\Delta$. Tento druhý spôsob je rozhodne kratší. (Ale ak by sme chceli robiť skúšku správnosti a vyjadriť prechod medzi novými a starými súradnicami a všetko poroznásobovať, tak by sme robili veľmi podobné výpočty ako pri postupe v tom staršom poste.)
Typ krivkyZistite typ krivky. Nájdite jej stred a osi. Načrtnite ju.
$$x_1^2-6x_1x_2-7x_2^2-16x_1-48x_2-88=0.$$
Ak chceme zistiť iba typ krivky, tak nám vlastne stačí pozrieť sa na
$$\delta=
\begin{vmatrix}
1 &-3 \\
-3 &-7 \\
\end{vmatrix}=-16<0$$
Teda ide o krivku hyperbolického typu. (Bude to hyperbola alebo dvojica pretínajúcich sa priamok.)
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
1 &-3 &-8 \\
-3 &-7 &-24 \\
-8 &-24&-88 \\
\end{vmatrix}=-8\delta
$$
Spoiler:
$$\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\frac{\Delta}{\delta}=0.$$
kde $\lambda_{1,2}$ sú vlastné čísla. Na základe takejto rovnice by sme vedeli nakresliť túto krivku . Ak ju však chceme nakresliť vzhľadom na pôvodné súradnice $x_1$ a $x_2$, tak potrebujeme vedieť povedať niečo o otočení a posunutí, ktoré prevedie rovnicu krivky na jednoduchší tvar.
Nájdenie stredu
Stred nájdeme podľa návodu, ktorý sme si povedali tu: viewtopic.php?t=901
Riešime teda sústavu
\begin{align*}
x_1-3x_2-8&=0\\
-3x_1-7x_2-24&=0
\end{align*}
Riešením sústavy je $x_1=-1$, $x_2=-3$. Stred hyperboly je v bode $S\equiv (-1,-3)$.
Poznámka: Porovnajte si tieto čísla s riadkovými úpravami, ktoré sme použili pri výpočte $\Delta$. (Čiže sa možno oplatí najprv rátať stred, lebo potom vieme, aké riadkové úpravy nám pomôžu.)
V nových súradniciach určených posunutím
\begin{align*}
y_1&=x_1+1\\
y_2&=x_2+3
\end{align*}
bude mať krivka rovnicu
$$y_1^2-6y_1y_2-7y_2^2-8=0.$$
(T.j. vlastne sme vynechali časť stupňa $1$ a poslednú konštantu sme dostali ako $\Delta/\delta$.)
Opäť vo WolframAlpha sa môžete pozrieť na tieto dve hyperboly, ktoré sa líšia iba posunutím. (Ale mi by sme radi pokračovali ďalej a dostali sa k tomu, že budeme vedieť zadanú krivku načrtnúť bez použitia akéhokoľvek softvéru.)
Otočenie
Pozrime sa na kvadratickú formu $y_1^2-6y_1y_2-7y_2^2$, ktorej zodpovedá matica
$$A=
\begin{pmatrix}
1 &-3 \\
-3 &-7 \\
\end{pmatrix}
$$
Štandardným spôsobom vieme nájsť jej vlastné čísla, konkrétne $-8$ a $2$.
Vlastné vektory k $-8$ sú nenulové násobky vektora $(1,3)$.
Vlastné vektory k $2$ sú nenulové násobky vektora $(-3,1)$.
Ak ich ešte vynormujeme (a dáme si pozor na znamienka - volíme ich tak, aby vyšiel kladný determinant), tak dospejeme k ortogonálnej matici
$$P=
\frac1{\sqrt10}\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
Táto matica predstavuje otočenie, po ktorom sa naša rovnica zmení na tvar $\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\frac{\Delta}{\delta}=0$ t.j.
$$-8z_1^2+2z_2^2-8=0,$$
pričom súradnicové osi $z_1$, $z_2$ prechádzajú bodom $(-1,-3)$. Os $z_1$ je v smere vlastného vektora $(1,3)$. Os $z_2$ je v smere vlastného vektora $(-3,1)$.
Vieme napísať aj rovnice priamok, ktoré predstavujú osi, sú to
\begin{align*}
3x_1-x_2&=0\\
x_1+3x_2&=-10
\end{align*}
Ak však chceme hyperbolu načrtnúť, tak nám treba vedieť aj v smere ktorej z osí je táto hyperbola orientovaná. Prípadne aj vzdialenosť bodov ležiacich na osi od stredu.
Prepíšme teda trochu rovnicu našej hyperboly:
\begin{align*}
-8z_1^2+2z_2^2&=8\\
\frac{z_2^2}2-z_1^2&=1
\end{align*}
Vidíme, že hyperbola bude pretínať os $z_2$ (t.j. os ktorá ide v smere vektora $(-3,1)$), a priesečník bude ležať vo vzdialenosti $\sqrt2$ od stredu.
Opäť si môžeme pozrieť aj ako to vyzerá vo WolframAlpha.
Asymptoty
Ak by sme chceli hyperbolu načrtnúť ešte presnejšie, môžeme skúsiť nakresliť aj asymptoty.
Návod pre hyperbolu so stredom v $(0,0)$ sme si povedali tu: viewtopic.php?t=902
T.j hyperbola $y_1^2-6y_1y_2-7y_2^2-8=0$ má asymptoty určené rovnicou
$$y_1^2-6y_1y_2-7y_2^2=0.$$
Chceme nejako vyčítať rovnice dvoch priamok, ktoré táto rovnica určuje.
Ak vyriešime pomocnú kvadratickú rovnicu $t^2-6t-7$ a zistíme, že $t^2-6t-7=(t-7)(t+1)$, tak dostávame ekvivalentné vyjadrenie
$$(y_1-7y_2)(y_1+y_2)=0,$$
čo zodpovedá dvojici priamok
\begin{align*}
y_1-7y_2&=0\\
y_1+y_2&=0
\end{align*}
Ak chceme nájsť asymptoty pôvodnej hyperboly (t.j. v súradniciach $x_1$, $x_2$), tak vlastne potrebujeme celú situáciu iba posunút. T.j. chceme napísať rovnice priamok rovnobežných s tými, ktoré sme našli, a ktoré navyše prechádzajú bodom $(-1,-3)$.
Dostaneme tak priamky:
\begin{align*}
x_1-7x_2&=20\\
x_1+x_2&=-4
\end{align*}
Opäť pridám link na WolframAlpha.
Záver
Na odkazoch, ktoré som dal vyššie, boli na obrázky vyrobené vo WolframAlpha.
Každopádne veci, ktoré sme vypočítali vyššie (stred, osi, rovnica v novej sústave) nám stačia na to, aby sme vedeli načrtnúť zadanú hyperbolu aj ručne.