msleziak.com

Nech $A,B \in M_{n,n}(\mathbb R)$ sú symetrické kladne definitné matice. Je potom aj matica $A+B$ kladne definitná? (Dokážte alebo nájdite kontrapríklad.)

Riešenie
Pripomeňme definíciu: Reálna symetrická matica $A$ typu $n\times n$ je kladne definitná $\Leftrightarrow$ pre každé $\vec x\in \mathbb R^n$ také, že $\vec x \ne \vec 0$ platí $$\vec x A \vec x^T >0.$$

Ak vieme, že táto vlastnosť platí pre $A$ aj $B$, tak pre ľubovoľný nenulový vektor $\vec x\in\mathbb R^n$ dostaneme
$$\vec x (A+B) \vec x^T = \vec x A \vec x^T + \vec x B \vec x^T>0.$$

Chyby v riešeniach
Niektorí ste sa to pokúšali riešiť pomocou Sylvestrovho kritéria alebo pomocou toho, že vlastné hodnoty majú byť kladné.
Vo všeobecnosti však neplatí, že by $\det(A+B)$ bolo to isté ako $\det(A)+\det(B)$.
Takisto z vlastných hodnôt matice $A$ a matice $B$ nevieme ľahko dostať vlastné hodnoty matice $A+B$.
Takže takýmto smerom asi cesta nevedie. (Aspoň ja teda nevidím nejaký jednoduchý spôsob.)

Bodovanie

Nemyslím si, že to bola príliš ťažká úloha. (Ak viete definíciu kladne definitnej matice, tak to z nej hneď vyplýva.)
Ale bola ľahšia v tom zmysle, že úloha v druhej skupine sa dala riešiť aj cez Sylvestrovo kritérium, zatiaľčo táto úloha nie. Preto som sa snažil bodovať menej prísne, dal som nejaký bod už za to, keď som videl, že poznáte nejaké kritériá, ktorými sa dá overiť kladná definitnosť.

Nech $A \in M_{n,n}(\mathbb R)$ je symetrická kladne definitná matica a nech $c>0$. Je potom aj matica $cA$ kladne definitná? (Dokážte alebo nájdite kontrapríklad.)

Riešenie

Opäť sa to dá robiť priamo z definície.
Ak vieme, že $A$ je kladne definitná a aplikujeme kvadratickú formu zodpovedajúcu matici $cA$ na nenulový vektor $\vec x$, tak dostaneme
$$\vec x (cA) \vec x^T = c (\vec x A \vec x^T) > 0.$$

V tomto prípade sa dalo použiť aj Sylvestrovo kritérium. Stačí si uvedomiť, že pre maticu $B$ rozmerov $k\times k$ platí $\det(cB) = c^k\det(B)$. A použiť túto vec pre všetky rohové determinanty.