msleziak.com

Na cviku sme si spomenuli (a aj dokázali) pre blokové matice takéto vzťahy

\begin{align*}
\begin{vmatrix} A&0\\ D&C\end{vmatrix}&=|A|\cdot|C|\\
\begin{vmatrix} A&B\\ 0&C\end{vmatrix}&=|A|\cdot|C|
\end{align*}
Dôležité je, že tam bol jeden nulový blok.

Môžete sa zamyslieť znovu nad tým, ako sme túto rovnosť dokázali.

Pridám aj nejaké linky:
* https://math.stackexchange.com/question ... nt-formula (Wayback Machine)
* https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix (Wayback Machine)

Vo všeobecnosti neplatia takéto vzorce:
\begin{align*}
\begin{vmatrix} A&B\\ D&C\end{vmatrix}&\ne|A|\cdot|C|\\
\begin{vmatrix} A&B\\ D&C\end{vmatrix}&\ne|A|\cdot|C|-|B|\cdot|D|
\end{align*}

Jednoduchý kontrapríklad:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Všimnite si, že táto matica je regulárna, a teda má nenulový determinant. Ale determinant každého zo štyroch blokov je nulový.
(Jeden z dôvodov prečo to spomínam je ten, že dnes niekto v opravnej písomke počítal determinant $4\times 4$ takýmto spôsobom - hoci matica neobsahovala nulové bloky. Tak som chcel o tom napísať na fórum, aby ste si tento problém uvedomili.)

Niekedy vieme vyjadriť aj takýto determinant. Napríklad skopírujem úlohu odtiaľto http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/ ... 16/u10.pdf (Tu sa predpokladá, že niektoré z blokov sú regulárne - používa sa tam inverzná matica.)

Ukážte, že pre determinant blokovej matice platí
$$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}=
\det A \det (D-C \inv A B) =
\det (A - B\inv{D}C)\det D
$$
Ukážte, že ak $A$ a $C$ komutujú, potom sa determinant rovná $\det(AD-CB)$.

Skúsim sem doplniť postupnosť hintov, ktoré vedú k tejto rovnosti:
$$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|.$$
(Dôkaz sa dá nájsť na linkách, ktoré som postol vyššie. A zvyčajne sa na niečo takéto zvykneme pozrieť aj na cviku. Ale takto máte možnosť vyskúšať si, či viete na to prísť sami, ak niekde máte aspoň začiatok riešenia.)

*****

Najprv sa pozrieme na špeciálny prípady, keď $C=I$, alebo $A=I$.

Vedeli by ste ukázať, že
$$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&I\end{vmatrix}=|A|.$$

Hint: Detailnejší hint: Dôkaz: Takmer rovnako sa dokáže aj
$$\begin{vmatrix} I&B\\ 0&C\end{vmatrix}=|C|.$$

*****

Teraz by sme chceli už dokázané veci použiť na dôkaz, že platí
$$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|.$$

Malý hint: Hint 1: Hint 2: Riešenie k hintu 2: Riešenie:

Doplním ešte, že to isté funguje aj ak mám viac blokov, keď bloky pod diagonálou sú nulové.
Ak by som mal napríklad blokovú maticu poskladanú z $3\times3=9$ blokov, tak mám $$
\det\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
0 & A_{22} & A_{23} \\
0 & 0 & A_{33} \\
\end{pmatrix}=\det(A_{11})\det(A_{22})\det(A_{33}).$$
Podobne aj pre väčšie rozmery. (Ak už to máme dokázané pre štyri bloky, tak na väčší počet blokov by sme toto tvrdenia ľahko rozšírili indukciou.)

Spomeniem ešte aj to, že toto tvrdenie dostaneme okamžite, ak máme k dispozícii zovšeobecnený Laplaceov rozvoj: viewtopic.php?t=1407
Ak matica $A$ má rozmery $k\times k$, tak rovnosť $$\begin{vmatrix} A&0\\ C&D\end{vmatrix}=|A|\cdot|D|$$ dostaneme, ak urobíme rozvoj podľa prvých $k$ riadkov a rovnosť $$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&D\end{vmatrix}=|A|\cdot|D|$$ dostaneme, ak urobíme rozvoj podľa prvých $k$ stĺpcov.