msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na cvičenie - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

19.9. cvičenie nebolo, na prírodovedeckej fakulte bolo do 14.00 voľno.

1. cvičenie (26.9.):
Vlastne išlo o opakovacie cvičenie, kde sme robili skôr veci zo strednej školy. (Reálne sa veciam z tohoto predmetu začneme venovať na druhom cviku.)
Z týchto úloh sme stihli 1a,b,c,d, 2e,f,i a 3.
Popritom sme zopakovali niečo o riešení kvadratických rovníc a Vietových vzťahoch.
Viackrát sme použili vzorec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, takže sme si spomenuli, že podobné vzorce fungujú aj pre vyššie mocniny.
Napríklad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ a podobné vzťahy aj pre vyššie mocniny. Podobný vzorec je $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, analogické rovnosti platia pre nepárne exponenty.

2. cvičenie (3.10.):
Venovali sme sa holubníkovému princípu. Príklady k tejto téme sú tu: http://msleziak.com/vyuka/2016/komb/01c ... _holub.pdf
Na dnešnom cviku sme stihli úlohy 1,2,6,8.

Aj nabudúce chceme pokračovať nejakými úlohami spomedzi týchto. (Určite sa chceme pozrieť aspoň na niektoré s rozmiestňovaním bodov.)

Ešte azda spomeniem to, že úloha dva je dosť známa na to, aby mala samostatný článok na Wikipédii: https://en.wikipedia.org/wiki/Mutilated ... rd_problem. A existuje veľa ďalších úloh podobného typu - s dláždením šachovnice alebo podobných útvarov, dominami, triminami a pod. (A aspoň s jednou úlohou takéhoto typu sa na tomto predmete ešte stretneme.)

3. cvičenie (10.10.):
Pokračovali sme v úlohách na holubníkový princíp.
Stihli sme príklady 5, 7, 11, 12, 13, 18, 22, 23a, 23c.
Príklad 23b je ťažší. (Však preto je aj označený hviezdičkou.) Zdalo sa, že viacerých z vás celkom zaujal a že sa chcete skúsiť zamyslieť nad riešením.)
Ak niekto je zvedavý (spoiler), tak sa môže pozrieť napríklad pozrieť sem. A určite sa dá nájsť riešenie aj na mnohých iných miestach.

4. cvičenie (17.10.):

Dnes nás bolo na cvičení menej, pretože prváci z PriF mali dekanské voľno - imatrikulácie.

S tými ľuďmi, ktorí prišli, sme prešli niekoľko príkladov na indukciu, konkrétne 1,4,12 a 14*.

Príkladom na matematickú indukciu sa chceme venovať i na budúcom cviku. (Vtedy by nás už malo byť viac.)

5. cvičenie (24.10.):
Riešili sme úlohy na matematickú indukciu.

K viacerým úlohám z tejto sady sa dajú nakresliť pekné obrázky alebo sa o nich dá dočítať kadečo zaujímavé, tak sem pridám nejaké linky.
* Triangular number
* The square of an integer is equal to the sum of consecutive odd numbers (zhruba rovnaký obrázok sa dá nájsť aj na Wikipédii v článku square number)
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* Geometric series
* Square pyramidal number
* Lazy caterer's sequence
* All horses are the same color

31.10. cvičenie nebolo (dekanské voľno)

6. cvičenie (7.11.):
Rátali sme príklady na kombinatorické princípy a počítanie:
* úlohy 4,7,8,9 z 03cvicenie_pocit.pdf
* úlohy 3,6 z 04cvicenie_pocit.pdf

7. cvičenie (14.11.):
Úlohy 5, 8, 11 z 04cvicenie_pocit.pdf.
Úlohy 1, 2 z 05cvicenie_kombper.pdf.

Dohodli sme sa, že budúci týždeň (21.11) je písomka. Rezervoval som na ňu miestnosť F1-328.

21.11. bola písomka

8. cvičenie (28.11.): Stihli sme úlohu 3 z 05cvicenie_kombper.pdf a úlohy 1, 2 z 06cvicenie_binom.pdf.

Identitu $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom nk = 2^n$ sme ukázali sme si ju viacerými spôsobmi - pomocou binomickej vety, matematickou indukciou, kombinatoricky. (Pri dôkaze matematickou indukciou som sa snažil nakresliť obrázok, z ktorého by mohlo byť vidno, čo sa vlastne v indukčnom kroku robí.)

K tejto identite pridám aj nejaké linky:
https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Binom ... ower_Index
http://math.stackexchange.com/questions ... natorially
http://math.stackexchange.com/questions ... binomni-2n
http://math.stackexchange.com/questions ... -0n-n-k-2n

Tiež sme dokazovali $\sum\limits_{k=1}^n k \binom nk = n\cdot 2^{n-1}$.
Opäť pár liniek:
https://proofwiki.org/wiki/Increasing_S ... efficients
http://math.stackexchange.com/questions ... se-r-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... mnii-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... 1-for-each

9. cvičenie (5.12.):
Z 06cvicenie_binom.pdf sme sa pozreli na úlohy 5 a 6.
Z 07cvicenie_cesty.pdf sme urobili úlohy 4 a 7.