Dôkaz uzavretosti množiny $A^{\mathcal I}$-konvergentných postupností

[Martin Sleziak]

Dnes sme pri čítaní článku o $A^{\mathcal I}$-konvergencii sme narazili na problém s dôkazom Theorem 2.1. Možno by sa dal opraviť aj tak, ale na viacerých miestach sú nejaké nezrovnalosti. (Ak ho aj prehlásime za správny, tak určite je zapísaný s chybami.)

Prinajmenšom sme narazili na tieto veci (a možno je tam takých viac).

• Namiesto $\varepsilon_n$ by asi malo byť na viac miestach $\varepsilon$. (Napríklad keď sa hovorí, že "k $\varepsilon_n$ existuje $n$ také, že...", tak je tam premenná $n$ použitá v dvoch rôznych významoch.)
• Nedokázali že postupnosť je cauchyovská, lebo robili odhad iba na $|L_n-L_{n+1}|$. (T.j. bolo by treba skontrolovať, či ten postup prejde aj s $L_{n+k}$ namiesto $L_{n+1}$ bez toho, aby sme pritom museli nejako meniť $\varepsilon.$)
• Nebola jasná posledná inklúzia (možno niekde má by $\varepsilon/4$ namiesto $\varepsilon$).

Možno by bolo aj zmysluplným cvičením vyskúšať si ten dôkaz poopravovať.
Ja si ale myslím, že sa mi podarilo tú istú vec dokázať výrazne jednoduchšie, skúsim dôkaz napísať nižšie. (Možno keď sa na to pozriete, tak mi poviete, že tam mám v skutočnosti nejaké chyby.)
V podstate ide iba o to ukázať, že je to ideálová konvergencia pre nejaký vhodne zvolený ideál (závisiaci od $A$ a $\mathcal I$).

[Martin Sleziak]

Ja sa najprv vrátim k tomu, ako je definovaná $\newcommand{\I}{\mathcal I}A^{\I}$-štatistická konvergencia.

Najprv znovu napíšem ako to definovali oni. Máme regulárnu maticu $A$ s nezápornými členmi a ideál $\I$. Pre postupnosť $(x_n)$ povieme, že konverguje k $L$ ak pre každé $\newcommand{\ve}{\varepsilon}\ve>0$ a $\delta>0$ platí
$$\{n\in\mathbb N; \sum_{k\in K(\ve)} a_{nk} \ge \delta\}\in\I,$$
pričom $K(\ve)=\{k\in\mathbb N; |x_k-L| \ge \ve\}$.

Na seminári sme sa zhodli na tom, že vlastne sa to ekvivalentne dá napísať ako
$$\newcommand{\Ilim}{\I\text{-}\lim_{n\to\infty}} \Ilim\sum_{k\in K(\ve)} a_{nk} = 0.$$

Označme
$$\newcommand{\J}{\mathcal K} \J=\{B\subseteq\mathbb N; \Ilim \sum_{k\in B} a_{nk} = 0\}.$$
Potom môžeme napísať definíciu $A^{\I}$ konvergencie ekvivalentne tak, že pre každé $\ve>0$ má platiť
$$K(\ve)\in\J.$$

Ak by sa podarilo ukázať, že $\J$ je ideál, tak vlastne tento typ konvergencie je ideálová konvergencia pre ideál $\J$. Ale pre konvergenciu pozdĺž ideálu je fakt, že $\J$-konvergentné ohraničené postupnosti tvoria uzavretý podpriestor v $\ell_\infty$ dobre známy (a nie moc ťažko dokázateľný) fakt; je to urobené napríklad ako Theorem 2.3 v KMŠS.

Takže jediné, čo nám zostáva, aby sme to celé mohli uzavrieť, je skontrolovať, že
$$\J=\{B\subseteq\mathbb N; \Ilim \sum_{k\in B} a_{nk} = 0\}$$
je skutočne ideál, čo je ale pomerne ľahké.

Očividne, $\emptyset\in\J$.

Ak $B_1\in\J$ a $B_2\subseteq B_1$, tak pre každé $n$ máme
$$0\le \sum_{k\in B_2} a_{nk} \le \sum_{k\in B_1} a_{nk}.$$
Pretože naľavo aj napravo máme niečo, čo $\I$-konverguje k nule, tak aj výraz v strede nerovnosti bude $\I$-konvergovať k nule.

Nech $B_1,B_2\in \mathcal K$, chceme skontrolovať, či aj $B_1\cup B_2\in \mathcal K$.
Očividne
$$0 \le \sum_{k\in B_1\cup B_2} a_{nk} \le \sum_{k\in B_1} a_{nk} + \sum_{k\in B_1} a_{nk}.$$
Výraz napravo $\I$-konverguje k nule (lebo je to súčet dvoch postupností, $\I$-konvergujú k nule); a teda to isté platí aj keď sčitujeme cez $B_1\cup B_2$.