Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$ určená predpisom
$$(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}).$$
Overte, či $(G,\ast)$ tvorí grupu, prípadne či je táto grupa komutatívna. Pre všetky vlastnosti z definície komutatívnej grupy zistite (a zdôvodnite), či v $(G,\ast)$ platia alebo nie. (Označenie: $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.)
Skupina B:
Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$ určená predpisom
$$(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(x_1x_2,x_2y_1+\frac{y_2}{x_1}).$$
Overte, či $(G,\ast)$ tvorí grupu, prípadne či je táto grupa komutatívna. Pre všetky vlastnosti z definície komutatívnej grupy zistite (a zdôvodnite), či v $(G,\ast)$ platia alebo nie. (Označenie: $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.)
Príklady v oboch skupinách sú prakticky rovnaké, až na výmenu poradia súradníc. Budem sa ďalej venovať už len skupine A.
Je to binárna operácia:
Ak $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb R^*\times\mathbb R$, tak
Súčin $x_1x_2$ je opäť nenulové reálne číslo.
Výraz $x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}$ je definovaný (nedelili sme nulou, v menovateli je $x_2\ne0$) a je to reálne číslo.
Teda $(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)\in \mathbb R^*\times\mathbb R$.
Nie je komutatívna:
Na to stačí nájsť konkrétny kontrapríklad. Môžeme napríklad skúsiť
$(2,0)\ast(1,1)=(2,2)$ a $(1,1)\ast(2,0)=(2,1/2)$
Spoiler:
Ako odpoveď stačilo napísať jednu dvojicu, pre ktorú v~rôznych poradiach dostaneme rôzne výsledky. Azda však stojí za to stručne napísať niečo aj k tomu, ako sa vlastne taká dvojica dala nájsť resp. čo nám mohlo pomôcť pri jej hľadaní.
Nie je veľmi ťažké všimnúť si, že ak používame iba prvky, ktoré majú na druhej súradnici nulu, tak to funguje podobne ako $(\mathbb R^*,\cdot)$, t.j.
$(x_1,0)\ast(x_2,0)=(x_1x_2,0)=(x_2,0)\ast(x_1,0)$.
Teda ak chceme nájsť kontrapríklad, nesmú mať obe dvojice na druhej súradnici nulu.
Podobne si môžeme všimnúť, že
$(1,y_1)\ast(1,y_2)=(1,y_1+y_2)=(1,y_2)\ast(1,y_1)$.
Takže určite nenájdeme kontrapríklad, kde by obe dvojice mali na prvej súradnici jednotku.
Je asociatívna (táto časť bola asi najviac prácna):
$((x_1,y_1)\ast(x_2,y_2))\ast(x_3,y_3)=
(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})\ast(x_3,y_3)=
(x_1x_2x_3,x_1x_2y_3+\frac{x_1y_2}{x_3}+\frac{y_1}{x_2x_3})$
$(x_1,y_1)\ast((x_2,y_2)\ast(x_3,y_3))=
(x_1,y_1)\ast(x_2x_3,x_2y_3+\frac{y_2}{x_3})=
(x_1x_2x_3,x_1x_2y_3+\frac{x_1y_2}{x_3}+\frac{y_1}{x_2x_3})$
Neutrálny prvok je $(1,0)$.
Skutočne platí
$(x_1,y_1)\ast(1,0)=(x_1,\frac{y_1}1)=(x_1,y_1)$
$(1,0)\ast(x_1,y_1)=(x_1,1\cdot y_1)=(x_1,y_1)$
Spoiler:
Vlastne na zdôvodnenie, že to je naozaj neutrálny prvok, úplne stačí to, čo som napísal vyššie.
Ale môžeme sa pozrieť aj na to, ako sa dá prísť k dvojici $(1,0)$, bez toho, aby som ju musel uhádnuť alebo odpísať.
Hľadám teda takú dvojicu $(x_2,y_2)\in G$, aby platilo $(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(x_1,y_1)$ (pre všetky prípustné hodnoty $x_1$ a $y_1$), t.j.
$$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})=(x_1,y_1)$$
To mi dáva podmienku $x_1x_2=x_1$. Ak to má platiť pre $x_1\ne0$, tak hneď vidím, že $x_2=1$.
Z druhej súradnice mám rovnosť $x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}=y_1$. Už však viem, že $x_2=1$, teda ju môžem prepísať ako
$$x_1y_2+y_1=y_1.$$
Z toho dostaneme $x_1y_2=0$. Pretože to má platiť pre ľubovoľné $x_1\ne0$, tak $y_2=0$.
Opäť zdôrazním, že takto som zatiaľ zistil iba toľko, že dvojica $(x_2,y_2)=(1,0)$ je jediný možný kandidát na neutrálny prvok. Stále treba overiť, či táto dvojica spĺňa podmienky z definície neutrálneho prvku. (A keďže operácia nie je komutatívna, treba skúšať obe poradia.)
Inverzný prvok k $(x_1,y_1)$ je $(1/x_1,-y_1)$.
Keďže $x_1\ne0$, tento výraz má zmysel - nedelíme nulou. Takisto vidno, že táto usporiadaná dvojica patrí do $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$.
Skutočne platí
$(x_1,y_1)\ast (1/x_1,-y_1)=(x_1/x_1,-x_1y_1+y_1x_1)=(1,0)$
$(1/x_1,-y_1)\ast (x_1,y_1)=(x_1/x_1,y_1/x_1-y_1/x_1)=(1,0)$
Spoiler:
Opäť, to čo som napísal vyššie, je iba overenie že to je inverzný prvok, ak sme ho nejako našli. Napríklad tak, že sa snažíme nájsť $(x_2,y_2)$ pre ktoré $(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(1,0)$, t.j.
$$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})=(1,0).$$
T.j. chceme, aby platilo, $x_1x_2=1$, čo znamená, že $x_2=1/x_1$.
Na druhej súradnici máme $x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}=0$. Ak namiesto $x_2$ dosadíme $1/x_1$, tak je to vlastne rovnosť
\begin{align*}
x_1y_2+x_1y_1&=0\\
x_1(y_1+y_2)&=0
\end{align*}
Pretože $x_1\ne0$, dostaneme $y_1=y_2$ a $y_2=-y_1$
Niektorí ste občas pracovali s prvkami $G$ ako keby to boli čísla a nie dvojice. Napríklad ste tvrdili, že neutrálny prvok je $1$; (ale $1\notin G$, čiže to nemôže byť neutrálny prvok).
Takisto si pár ľudí zapísalo pri hľadaní neutrálneho prvku, že by mal mať tvar $(e,e)$; t.j. ako keby nutne musel mať obe súradnice rovnaké. (Asi nie je prekvapivé - najmä ak ste už videli správne riešenie - že takto sa ho nepodarilo nájsť alebo ste dospeli k nesprávnemu výsledku.)
Tieto veci sa vyskytovali vo veľa riešeniach - strhával som za ne body len tak veľmi mierne:
Neoverili ste, či je to binárna operácia - povedzme, že toto sa dá pochopiť tak, že to bolo napísané v zadaní a že to netreba overovať.
Pri neutrálnom a inverznom prvku ste robili iba jedno poradie. (Operácia $\ast$ nie je komutatívna, takže to nestačí. Podobne je to s inverzným prvkom.)
Pri neutrálnom prvku ste zdôvodnili, že ak operácia má neutrálny prvok, tak je to $(1,0)$. Vôbec nič ste ale nehovorili o tom či to je skutočne neutrálny prvok. (Podobne pri inverznom prvku.)
Neuviedli ste konkrétny príklad, pre ktorý neprejde komutatívnosť.
Skúsim k týmto veciam napísať aj niečo o trochu detailnejšie.
Hľadanie neutrálneho prvku. Ak ste napríklad napísali niečo takéto (toto je odpísané priamo z jednej písomky):
$(x_1,y_1)\ast(e_1,e_2)=(x_1,x_2)$
$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})=(x_1,y_1)$
$\Rightarrow$ $e_1=1$, $e_2=0$
Neutrálny prvok existuje a je to $(1,0)$.
Tak vidím, že ste nejako odôvodnili to, že ak má operácia $\ast$ tak to musí byť $(1,0)$. Treba skontrolovať, či naozaj $(x_1,x_2)\ast(1,0)=(x_1,x_2)$. A takisto či $(1,0)\ast(x_1,x_2)=(x_1,x_2)$.
Veľmi podobne je to pri hľadaní inverzného prvku.
Nekomutatívnosť. Ak iba napíšete
$$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}) \ne (x_2x_1,x_2y_1+\frac{y_2}{x_1})$$
tak nemusí byť na prvý pohľad jasné, či sú to rôzne zápisy toho istého výrazu (len ich treba nejako poupravovať), alebo sa skutočne pre niektoré hodnoty $x_{1,2}$, $y_{1,2}$ budú výsledky líšiť.
To je dôvod, prečo som tam chcel vidieť konkrétny kontrapríklad.