DÚ - dôkaz z prednášky 10.11.2016

[samuel.molcan]

Veta Ak od matice A prejdeme k matici B pomocou elementárnych riadkových operácií, tak podpriestor generovaný maticou A (Va) je rovný podpriestoru, ktorý je generovaný maticou B (Vb), Va=Vb.

Dôkaz:

Existujú tri riadkové operácie, postupne dokážeme pre každú z nich:

1. výmena dvoch riadkov matice -> stačí si uvedomiť, že z definície ak máme maticu A m x n nad poľom F, tak potom podpriestor Va = [(a11,...,a1n), ... , (am1, ... , amn)] je v inklúzii s F^n. Potom ak si vezmeme 0 < i,j <= m a zároveň i je rôzne od j, tak (bez ujmy na všeobecnosti i < j):

Nech:

Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)]
Vb = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)]

Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)] = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)] = Vb a teda po výmene riadkov matica A generuje stále ten istý vektorový priestor.

2. vynásobenie celého riadku prvkom x z poľa F (x je rôzne od 0) -> Vb = [(a11,...,a1n), ... , (x*ai1, ... , x*ain), ... , (am1, ... , amn)] . Keďže x je z F, potom existuje prvok x^(-1) taký, že x^(-1)*x = 1. Va je ron0 Vb práve vtedy, ak všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov z Vb a naopak. Je zrejmé, že platí rovnosť pre 0 < g <= m, g rôzne od i : (ag1, ... , agn) = (0*(a11, ... , a1n) + ... + 1*(ag1, ... , agn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) (a teda všetky koeficienty sú nulové okrem koeficientu pri riadku g, kde je rovný 1). To platí pre Va -> Vb a aj Vb -> Va. Pre riadok i platí: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1, ... , x*ain) (pre Va -> Vb a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Zároveň: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1, ... , x*ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Z toho vieme Va=Vb

3. pripočítanie x-násobku i-teho riadku ku j-temu riadku pre i rôzne od j ->Vb = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn), ... , (am1, ... , amn)]. Rovnako ako v bode 2. potrebujeme ukázať, že všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov Vb. Pre všetky riadky okrem i-teho je dôkaz rovnaký. Pre i-ty riadok postupujeme nasledovne:

(0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 1*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) (pre Va -> Vb
(0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) + ... + (-(x^(-1)))*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va

Vidíme, že existuje LK vektorov.

[jaroslav.gurican]

Bod 3 nie dobre, treba sa na to pozrieť. Ale ten dôkaz je v skriptách a je tam o.i. napísaný v omnoho lepšej grafickej úprave, takže by si ho ľudia asi mali radšej pozrieť tam, ako ho lúštiť tu.

Indexy ako ich píšete sú veľmi nezrozumiteľné, pri písaní matematiky je najlepšie použiť TeX/LaTeX, niečo ako aij (a11 a podobne) je krajšie ako $a_{ij}$, čo sa napíše pomocou

Code: Select all

$a_{ij}$

čiže index sa píše pomocou znaku _ a index bude to, čo je (hneď) za znakom _ v zátvorkách. Keď index pozostáva z jedného znaku, zátvorky netreba, t.j. $b_n$ sa píše ako

Code: Select all

$b_n$

Keď sa matica volá $A$, mali by ste písať $V_A$ a nie $V_a$ (Va), namiesto Va -> Vb asi má byť $V_A \subseteq V_B$, t.j.

Code: Select all

$V_A \subseteq V_B$

Pozrite si časť o TeXu a LaTeXu v časti Rôzne na fóre.