Ukážte, že $G=(\mathbb R\setminus\{0\})\times\mathbb R$ s binárnou operáciou definovanou ako
$$(a,b)\ast(c,d)=(ac,bc+d)$$
je grupa. Zistite, či táto grupa je komutatívna. (Ak áno, tak to dokážte. Ak nie, nájdite konkrétny kontrapríklad.)
Táto úloha je veľmi podobná na úlohu, o ktorej píšem tu: viewtopic.php?t=498
Tam sa dajú nájsť nejaké iné pohľady na grupu z tejto úlohy.
Sem napíšem iba stručne ako sa vlastne táto úloha dala riešiť.
Neutrálny prvok je $(1,0)$.
$(1,0)\ast(c,d)=(c,d)$
$(a,b)\ast(1,0)=(a,b)$
Spoiler:
Na kontrolu, že to je naozaj neutrálny prvok, stačí napísať to, čo som napísal vyššie.
Nájsť sme ho mohli tak, že hľadáme prvok $(a,b)$ taký, aby platilo
$(a,b)\ast(c,d)=(c,d)$
$(ac,bc+d)=(c,d)$
\begin{gather*}
ac=c\\
bc+d=d
\end{gather*}
Tieto podmienky majú byť splnené pre ľubovoľné $c\ne0$ a ľubovoľné $d$. Napríklad pre $c=1$ a $d=0$ hneď vidíme, že musí platiť $a=1$, $b=0$. Teda dvojica $(1,0)$ je jediný kandidát na neutrálny prvok. Stačí skontrolovať, či spĺňa podmienky z definície. (Operácia, s ktorou pracujeme, nie je komutatívna. Preto treba vyskúšať obe poradia.)
Inverzný prvok k $(a,b)$ je $(\frac1a,-\frac ba)$. (Všimnime si, že $a\ne0$, a teda uvedené výrazy sú definované a táto dvojica patrí do $G$.)
$(a,b)\ast(\frac1a,-\frac ba)=(1,b\cdot\frac1a-\frac ba)=(1,0)$
$(\frac1a,-\frac ba)\ast(a,b)=(1,-\frac ba \cdot a+b)=(1,0)$
Spoiler:
Opäť, to čom som napísal vyššie je iba kontrola, že uvedený predpis nám naozaj dá inverzný prvok.
Ak ho chceme nájsť, tak vlastne máme podmienky:
$(a,b)\ast(c,d)=(1,0)$
$(ac,bc+d)=(1,0)$
$ac=1$ $\Rightarrow$ $c=\frac1a$
$bc+d=1$ $\Rightarrow$ $d=1-bc=1-\frac ba$
Keď sme takto našli kandidáta na inverzný prvok, potrebujeme ešte skontrolovať, či je naozaj inverzný.
Táto binárna operácia nie je komutatívna:
$(1,1)\ast(2,0)=(2,2)$
$(2,0)\ast(1,1)=(2,1)$
Spoiler:
Opäť sa azda oplatí spomenúť, že by sme nenašli kontrapríklad, keby sme ho hľadali iba medzi prvkami, ktoré majú na druhej súradnici nulu:
$(a,0)(c,0)=(ac,0)$
A ani keby sme skúšali iba prvky, ktoré majú na prvej súradnici jednotku:
$(1,b)(1,d)=(1,b+d)$
(Inak: Podgrupa $\{(a,0); a,\in\mathbb R^*\}$ je komutatívna, je izomorfná s $(\mathbb R^*,\cdot)$. Podgrupa $\{(1,b); b\in\mathbb R\}$ je komutatívna, je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.)
Chyby, ktoré sa vyskytli
Opäť mnohí z vás kontrolovali pre neutrálny resp. inverzný prvok iba jedno poradie - hoci táto operácia nie je komutatívna.
Tiež pomerne veľa z vás zabudlo overiť, či to je naozaj binárna operácia.
Pripomeniem aj to, že inverzný prvok je pre každý prvok iný, ale neutrálny prvok musí byť jeden pre celú grupu.
Napríklad v jednej písomke sa niekto (chybným výpoštom) dostal k výsledku, že ak má platiť $(e_1,e_2)*(a,b)=(a,b)$ tak by pre neutrálny prvok platilo $(e_1,e_2)=(1,\frac1a)$. V prípade že by to vyšlo takto, odpoveď by bola že daná binárna operácia nemá neutrálny prvok. (Pre rôzne voľby $(a,b)$ sme totiž dostali rôzne $(e_1,e_2)$.)
Možno sa oplatí spomenúť prečo v úlohách podobného typu často napíšem, že chcem vidieť konkrétny kontrapríklad.
Môže sa totiž stať, že dostanete pri úpravách dva výrazy, ktoré môžu vyzerať rôzne, ale v skutočnosti je to to isté len zapísané inak.
Takéto niečo sa skôr môže vyskytnúť ak máme nejaké komplikovanejšie výrazy - ale azda aj na tomto príklade sa to dá aspoň čiastočne ilustrovať.
\begin{gather*}
(a,b)\ast(c,d)=(ac,bc+d)\\
(c,d)\ast(a,b)=(ca,da+b)
\end{gather*}
Tu by sa zdalo rozumné jednoducho napísať, že $bc+d\ne ad+b$ a skončiť.
Azda príklad, ktorý ozrejmí že si to treba rozmyslieť detailnejšie je takýto: Skúste si uvedomiť, že ak by sme rovnakým predpisom definovali operáciu na množine $\{1\}\times\mathbb R$, tak by sme opäť dostali grupu, ale tentokrát komutatívnu.
(Je to síce možno veľmi naivný príklad, ale azda aspoň trochu ukazuje, že skúsiť nájsť konkrétne prvky ktoré nekomutujú - alebo všeobecnejšie konkrétny kontrapríklad na vec ktorú sa snažím vyvrátiť - môže byť užitočné.)
Last bumped by Martin Sleziak on Mon Nov 26, 2018 12:43 pm.