msleziak.com

Chceme vybrať $6$ členov disciplinárnej komisie spomedzi štyroch študentov a ôsmich učiteľov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť, ak v komisii musia byť aspoň traja študenti?

Riešenie
Ak vyberieme 3 študentov a 3 učiteľov: $\binom43\binom83$ možností.
Ak vyberieme 4 študentov a 2 učiteľov: $\binom44\binom82$ možností.
Spolu:
$$\binom43\binom83+\binom44\binom82=4\cdot56+28=224+28=252$$

Chceme vytvoriť 5-člennú komisiu, pričom členov vyberáme spomedzi $10$ ľudí. Medzi týmito desiatimi ľuďmi sú traja z tej istej strany. Koľko máme možností, ak nemôžeme týchto troch ľudí dať všetkých do komisie?

Riešenie
Celkový počet možností je $\binom{10}5=252$. Máme ale zakázané možností, kde sme vybrali práve tých troch ľudí, čo je $\binom33\binom72$ možností (vyberáme ešte dvoch ľudí spomedzi sedem ostatných).
Potrebujeme teda odčítať $\binom72=21$. Výsledok je $\binom{10}5-\binom33\binom72=252-21=231$.

Iné riešenie.
Je to síce o máličko zdĺhavejšie, ale môžeme zrátať počet možností, kde sme z troch spolustranníkov vybrali $0$, $1$, $2$:
$\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73=231$ Poznámka.
Súčasne sme zistili, že $\binom{10}5-\binom33\binom72=\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73$, t.j.
$$\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73+\binom33\binom72=\binom{10}5.$$
Môžete sa zamyslieť nad tým, či sa nejakou podobnou úvahou nedá odvodiť nejaká všeobecnejšia identita s binomickými koeficientami.

Wikipédia: Vandermonde's identity

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach
Na poradí pri výbere nezáleží. Niektorí ste počítali, ako keby na poradí záležalo. Napríklad výber $3$ študentov a $3$ učiteľov ste počítali ako $4\cdot3\cdot2\cdot8\cdot7\cdot6$ možností.

Viacerým z vás pri vyčíslovaní binomických koeficientov vychádzali veľmi zvláštne čísla. Zdá sa, že problém je, že ste si zle zapamätali vzorec $$\binom nk= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.$$