msleziak.com

Dokážte: Ak je daných päť celých čísel $a_1,a_2,\dots,a_5$, tak sa medzi nimi vyskytne niekoľko po sebe idúcich, ktorých súčet je deliteľný $5$. (T.j. existujú $i$, $j$ také, že súčet $\sum\limits_{k=i}^{j} a_k=a_i+\dots+a_j$ je násobok piatich, pričom $1\le i\le j\le 5$.)

Príklady.
Ukážme si na pár príkladoch, čo vlastne máme dokázať.
Pre $a_1=3$, $a_2=9$, $a_3=4$, $a_4=4$, $a_5=2$ môžeme vybrať $a_3+a_4+a_5=10$.
Pre $a_1=3$, $a_2=4$, $a_3=2$, $a_4=1$, $a_5=3$ môžeme vybrať $a_1+a_2+a_3+a_4=10$ alebo $a_2+a_3+a_4+a_5=10$.
Pre $a_1=2$, $a_2=7$, $a_3=4$, $a_4=3$, $a_5=4$ môžeme vybrať $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20$.
Pre $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=5$, $a_4=2$, $a_5=1$ môžeme vybrať $a_3$. (Teda prípustný je aj súčet pozostávajúci iba z jedného čísla) Iná možnosť je $a_2+a_3+a_4=10$.
Pre $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=1$, $a_4=0$, $a_5=1$ môžeme vybrať $a_4$.
Pod po sebe idúcimi číslami sa teda myslí to, že berieme napríklad $a_1+a_2$ alebo $a_3+a_4+a_5$. V zadaní sa nič nehovorí o tom, že by medzi zadanými číslami boli čísla ako $1$, $2$, $3$ a pod.

Riešenie.
Uvažujme súčty
$s_1=a_1$
$s_2=a_1+a_2$
$s_3=a_1+a_2+a_3$
$s_4=a_1+a_2+a_3+a_4$
$s_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
Ak niektoré z týchto piatich čísel je deliteľné $5$, tak tvrdenie platí.
Ak nie, tak tieto čísla majú zvyšky po delení piatimi z množiny $\{1,2,3,4\}$. Niektoré dve majú rovnaký zvyšok.
Potom ich rozdiel $s_j-s_i=(a_1+\dots+a_j)-(a_1+\dots+a_i)=a_{i+1}+\dots+a_j$ je deliteľný piatimi.

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach

Veľa ľudí riešilo úlohu tak, ako keby išlo o čísla $a$, $a+1$, $a+2$, $a+3$, $a+4$.
(Hoci vysvetlenie v zátvorke by malo objasniť, čo sa myslí zadaním. A počas písomky som na to explicitne upozornil a napísal aj konkrétny príklad na tabulu.)