msleziak.com

Nejake poznamky k domacej ulohe 4. Samozrejme, ak mate otazky, poznamky, krajsie riesenia, tak ich nevahajte napisat, sem.

Na uvod asi zopakujem to, co som hovoril uz viackrat.

Ak chcem zdovodnit, ze nejake tvrdenie plati, mal by som uviest dokaz.

Ak chcem zdovodnit, ze neplati, mal by som najst kontrapriklad. (Cize v tomto pripade by som mal uviest konkretne mnoziny, pre ktore dane tvrdenie neplati.) Na to, aby som porozumel, preco dane tvrdenie neplati, mi moze velmi pomoct, ked sa pokusam o jeho dokaz. Takisto neuspesny dokaz mi moze pomoct s tym, ako mam vymysliet kontrapriklad. Ale vzdy treba uviest aj konkretny priklad.

********

Ukazme si riesenie pre niektoru rovnost, ktora plati:

$$(A\times B)\cap(C\times D) \subseteq (A\cap C) \times (B\cap D)$$

Cize chceme overit, ci kazdy prvok z mnoziny na lavej strane patri aj do mnoziny na pravej strane. V oboch pripadoch ide o mnoziny usporiadanych dvojic, cize staci pracovat s prvkami, ktore su dvojice.

Chceme teda vlastne skontrolovat ci z $(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)$ vyplyva $(x,y)\in(A\cap C) \times (B\cap D)$. Pokusime sa to prepisovat podla definicie.

$(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)$ $\Leftrightarrow$
$(x,y)\in(A\times B) \land (x,y)\in(C\times D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A) \land (y\in B) \land (x\in C) \land (y\in D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A) \land (x\in C) \land (y\in B) \land (y\in D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A\cap C) \land (y\in B\cap D)$ $\Leftrightarrow$
$(x,y)\in (A\cap C) \times (B\cap D)$

Vsimnime si, ze mame dokonca vsade ekvivalenciu - v skutocnosti sme teda dokazali rovnost

$$(A\times B)\cap(C\times D) = (A\cap C) \times (B\cap D)$$

******

V inej casti zadania bola otazka, ci plati
$$(A\cup C)\times(B\cup D) \subseteq (A\times B)\cup(C\times D).$$

Skusme co dostaneme pre $A=B=\{0\}$, $C=D=\{1\}$.

Potom $A\cup C=\{0,1\}$, $B\cup D=\{0,1\}$, teda $(A\cup C)\times (B\cup D)=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$.

Sucasne mame $A\times B=\{(0,0)\}$ a $C\times D=\{(1,1)\}$, cize $(A\times B)\cup(B\times D)=\{(0,0),(1,1)\}$.

Vidime, ze uvedna inkluzia neplati. (Napriklad $(0,1)\in (A\cup C)\times (B\cup D)$, ale $(0,1)\notin (A\times B)\cup(C\times D)$.)

(Na kontrapriklad sa da vcelku lahko prist tak, ze skusime toto tvrdnie dokazovat a zistime, ze dokaz funguje vcelku priamociaro, akurat na jednom mieste to nevychadza.)

******

Este raz k zapisom

Uz minule sa vyskytol formalny problem so zapisom - logicke spojky piseme medzi vyroky, mnozinove operacie alebo aj $\subseteq$ medzi mnoziny. Pozri post k du2.

Konkretne priklady z tejto du:

$(A\times B)\cap(C\times D) \Leftrightarrow \{\exists (a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\} \cup \{\exists (c,d) \colon c\in C \land d\in D\}$

Toto je nespravne hned z viacerych dovodov. Medzi mnozinami piseme $=$ a nie $\Leftrightarrow$. (Toto je logicka spojka, ta moze ist medzi vyrokmi.)

Dalej ked chcem napisat mnozinu prvkov z nejakou vlastnostou $P(x)$, zapisem to takto: $\{x; P(x)\}$. (Pripadne $\{x\in A; P(x)\}$, ak ich vyberam z nejakej mnoziny, ako sme sa o tom rozpravali pre scheme axiom vymedzenia).

Cize spravne je $A\times B=\{(a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\}$ a nie $A\times B=\{\exists (a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\}$.

$(x\in A) \lor (x\in B) \subseteq (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)$

Tento zapis je takisto nespravny. Bud mozem napisat vyroky a medzi ne implikaciu: $(x\in A) \lor (x\in B) \Rightarrow (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)$. Alebo mozem napisat mnoziny a medzi ne inkluziu: $\{x; (x\in A) \lor (x\in B)\} \subseteq \{x; (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)\}$.

Martin Sleziak wrote: V inej casti zadania bola otazka, ci plati
$$(A\cup C)\times(B\cup D) \subseteq (A\times B)\cup(C\times D).$$

Skusme co dostaneme pre $A=B=\{0\}$, $C=D=\{1\}$.

Potom $A\cup C=\{0,1\}$, $B\cup D=\{0,1\}$, teda $(A\cup C)\times (B\cup D)=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$.

Sucasne mame $A\times B=\{(0,0)\}$ a $C\times D=\{(1,1)\}$, cize $(A\times B)\cup(B\times D)=\{(0,0),(1,1)\}$.

Vidime, ze uvedna inkluzia neplati. (Napriklad $(0,1)\in (A\cup C)\times (B\cup D)$, ale $(0,1)\notin (A\times B)\cup(C\times D)$.)

(Na kontrapriklad sa da vcelku lahko prist tak, ze skusime toto tvrdnie dokazovat a zistime, ze dokaz funguje vcelku priamociaro, akurat na jednom mieste to nevychadza.)

Alebo azda ešte jednoduchší kontrapríklad je zvoliť si $A=D=\emptyset$.
V takom prípade máme $A\times B=C\times D=\emptyset$, čiže aj celé zjednotenie je prázdne: $(A\times B)\cup(C\times D)=\emptyset$.
Na ľavej strane ale dostaneme $A\cup C=C$, $B\cup D=B$, čiže ľavá strana je $C\times B$.
Ak si zvolíme $C$ aj $B$ neprázdne, tak dostaneme hľadaný kontrapríklad.