Suma $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}(2^{n+1} - 1)$
Posted: Sat Dec 10, 2016 4:31 pm
Dostal som mailom otázku k tejto úlohe:
Tu je nejaká linka, kde sa dá nájsť riešenie na internete:
* How can I compute $\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1} {k + 1}\binom{n}{k}$?
Túto sa mi podarilo nájsť ako prvú.
Zatiaľ napíšem stručný hint a neskôr sa skúsim doplniť detailnejšie riešenie. (Samozrejme, ak sa nájde niekto iný, kto sem napíše riešenie, budem len rád.)
Hint 1: Vedeli by ste upraviť výraz $\frac{1}{k+1} \binom{n}{k}$ tak, aby ste tam dostali iný binomický koeficient?
(Skúste si spomenúť, ak sme niečo podobné robili na cviku.)
Hint 2: Ak už ste ten binomický koeficient upravili, pomôže vám to nejako pri vyjadrení celej sumy?
Je to úloha 3a z 07cvicenie_cesty.pdfDokážte: $$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} \binom{n}{k} =
\frac{1}{n+1}(2^{n+1} - 1).$$
Tu je nejaká linka, kde sa dá nájsť riešenie na internete:
* How can I compute $\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1} {k + 1}\binom{n}{k}$?
Túto sa mi podarilo nájsť ako prvú.
Zatiaľ napíšem stručný hint a neskôr sa skúsim doplniť detailnejšie riešenie. (Samozrejme, ak sa nájde niekto iný, kto sem napíše riešenie, budem len rád.)
Hint 1: Vedeli by ste upraviť výraz $\frac{1}{k+1} \binom{n}{k}$ tak, aby ste tam dostali iný binomický koeficient?
Spoiler:
Hint 2: Ak už ste ten binomický koeficient upravili, pomôže vám to nejako pri vyjadrení celej sumy?