msleziak.com

$$\frac1k \binom km = \frac1k \cdot\frac{k(k-1)\cdots(k-m+1)}{m\cdot(m-1)\cdots1} = \frac{(k-1)\cdots(k-m+1)}{m\cdot(m-1)\cdots1} \overset{(*)}= \frac1m\cdot\frac{k(k-1)\cdots(k-m+1)}{(m-1)\cdot(m-2)\cdots1} = \frac1m \binom{k-1}{m-1}.$$

Aj ak by sme nemali zadané, čo chceme dostať, tak sa na rovnosť označenú $(*)$ dá vcelku ľahko prísť. Ak chcem uvedený výraz upraviť tak, aby to bol binomický koeficient a v čitateli máme $(m-1)$ členov a dole $m$, tak musíme jeden dať bokom, aby sme dostali rovnaký počet.

To isté prepísané inak
$$\frac1k \binom km = \frac1k \cdot \frac{k!}{m!(k-m)!} = \frac{(k-1)!}{m!(k-m)!} = \frac1m \cdot \frac{(k-1)!}{(m-1)!(k-m)!} = \frac1m\binom{k-1}{m-1}$$

Máme $m$-prvkovú množinu $A$ skúste rátať počet dvojíc $(x,B)$ takých, že $x\in B\subseteq A$ a $|B|=k$.

To isté, povedané inak. Spomedzi $m$ ľudí chceme vybrať $k$-členný tím. Navyše spomedzi členov tímu chceme vybrať jedného lídra. Koľko existuje možností výberu?