msleziak.com

Dokážte: Nech $V$, $W$ sú vektorové priestory a $f\colon V\to W$ je \textbf{surjektívne} lineárne zobrazenie. Ak vektory $\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k\in V$ generujú priestor $V$ (t.j. $[\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k]= V$), tak platí $[f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)]=W$ (t.j. ich obrazy generujú priestor $W$).

Riešenie.
Chceme vlastne ukázať, že každý vektor $\vec y\in W$ sa dá dostať ako lineárna kombinácia vektorov $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$.
Pre ľubovoľný vektor $\vec y\in W$ existuje (na základe surjektívnosti) vektor $\vec x\in V$ taký, že $f(\vec x)=\vec y$.
Súčasne z toho, že $\vec x\in V=[\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k]$ dostávame existenciu skalárov $c_1,c_2,\dots,c_k$ takých, že
$$\vec x=c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k.$$
Potom platí aj
$$f(\vec x)=f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k).$$
(Tu sme využili zatiaľ iba to, že $f$ je zobrazenie.)
Z linearity zobrazenia $f$ máme $f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k)$. Takže predošlá rovnosť sa potom dá prepísať ako
$$f(\vec x)= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k).$$
Zistili sme teda, že
$$\vec y= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k),$$
čiže $\vec y \in [f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)]$.

Ukázali sme, že ľubovoľný vektor z $W$ patrí do $[f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)]$, čím sme dokázali rovnosť
$$W=[f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)].$$
(Keby niekto chcel byť veľmi pedantný, tak sme dokázali iba inklúziu $W\subseteq[f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)]$. Opačná inklúzia $[f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)]\subseteq W$ je však očividná - vektory $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ patria do $W$.) $\square$

Poznámky k vašim riešeniam

Ak ste používali pri riešení nejakú vetu z prednášky (napríklad že pre surjektívne zobrazenie platí, že obrazy bázových vektorov generujú $W$), tak si treba dať pozor na to, či to nie je vlastne dôkaz do kruhu. (T.j. či pri dôkaze použitej vety ste nevyužívali práve toto tvrdenie, ktoré je v zadaní tejto úlohy.)
Takéto riešenia som uznal. (Nijako som v zadaní nešpecifikoval, čo sa môže využívať a čo nie. Takže v princípe odvolanie sa na akúkoľvek vetu z prednášky je ok. Čiže beriem to tak, že som mal zadanie sformulovať jasnejšie, aby bolo zrejmé, že takéto riešenie nie je to čo chcem. Ak je nejaká nejednoznačnosť v zadaní, tak asi férové riešenie je riešiť ju skoro vždy v prospech študenta, s výnimkou nejakých takých prípadov ako úplne očividný preklep alebo ak sa ešte počas písomky zadanie ústne dovysvetlí. Nijako masívne to výsledky písomky neovplyvnilo, vyskytlo sa takéto niečo iba v dvoch písomkách.) Ale azda uznáte, keď si pozriete riešenie napísané vyššie, že dokázať to priamo z definície je asi jednoduchšie a priamočiarejšie.