Úprava algebraických výrazov

• Upravte uvedený výrazy na čo najjednoduchší tvar:
  a) $\dfrac1{\sqrt3+\sqrt2}$;
  b) $\sqrt{9-4\sqrt5}$;
  c) $\sqrt{(-3)^2}$;
  d) $1+\dfrac1{\sqrt2+1}$;
• Zjednodušte zadané výrazy. Zistite aj, pre aké hodnoty premenných sú definované.
  a) $\dfrac{x-y}{\sqrt x-\sqrt y}$;
  b) $\dfrac1{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$;
  c) $\dfrac{\sqrt{1+x}-1}x$;
  d) $\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}$; (Hint: Čo vychádza po dosadení čísla $1$?)
  e) $(x+y+z)^2$;
  f) $(x+y+z)^3$;
  g) $(x+y)(y+z)(x+z)$;
  h) $\left(x+\frac1x\right)^2$;
  i) $\dfrac{x^4-y^4}{x-y}$;
  j) $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$;
  h) $(\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2})(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2})$;
  i) $\binom{n}2+\binom{n+1}2$;
  j) $\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$;
  k) $\dfrac1{2n}-\dfrac1{n+1}+\dfrac1{2(n+2)}$.
Čomu sa rovná $x_1+x_2$, $x_1\cdot x_2$, $x_1^2-x_1$ a $x_1^2-x_2^2$ pre $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}2.$$ (Číslo $\vp=\frac{1+\sqrt5}2$vystupujúce v tejto úlohe sa volá zlatý rez a dá sa s ním stretnúť v rôznych oblastiach. Wikipédia: Golden ratio)
• Zistite, či platí uvedená rovnosť pre ľubovoľné reálne čísla, pre ktoré má daný výraz zmysel. (Ak platí, tak sa ju pokúste zdôvodniť. Ak nie, tak nájdite aspoň jeden konkrétny kontrapríklad.)
  a) $\frac1{a+b}=\frac1a+\frac1b$;
  b) $\frac{a+b}{c+d} = \frac ac + \frac bd$;
  c) $\frac1{ab}=\frac1a\cdot\frac1b$;
  d) $\sqrt{a^2}=a$;
  e) $(\sqrt{a})^2=a$;
  f) $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$;
  g) $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;