Úprava algebraických výrazov
$\newcommand{\vp}{\varphi}\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
- Upravte uvedený výrazy na čo najjednoduchší tvar:
a) $\dfrac1{\sqrt3+\sqrt2}$;
b) $\sqrt{9-4\sqrt5}$;
c) $\sqrt{(-3)^2}$;
d) $1+\dfrac1{\sqrt2+1}$;
- Zjednodušte zadané výrazy. Zistite aj, pre aké hodnoty premenných sú definované.
a) $\dfrac{x-y}{\sqrt x-\sqrt y}$;
b) $\dfrac1{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$;
c) $\dfrac{\sqrt{1+x}-1}x$;
d) $\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}$; (Hint: Čo vychádza po dosadení čísla $1$?)
e) $(x+y+z)^2$;
f) $(x+y+z)^3$;
g) $(x+y)(y+z)(x+z)$;
h) $\left(x+\frac1x\right)^2$;
i) $\dfrac{x^4-y^4}{x-y}$;
j) $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$;
h) $(\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2})(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2})$;
i) $\binom{n}2+\binom{n+1}2$;
j) $\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$;
k) $\dfrac1{2n}-\dfrac1{n+1}+\dfrac1{2(n+2)}$.
- Čomu sa rovná $x_1+x_2$, $x_1\cdot x_2$, $x_1^2-x_1$ a $x_1^2-x_2^2$ pre $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}2.$$ (Číslo $\vp=\frac{1+\sqrt5}2$vystupujúce v tejto úlohe sa volá zlatý rez a dá sa s ním stretnúť v rôznych oblastiach.)
- Zistite, či platí uvedená rovnosť pre ľubovoľné reálne čísla, pre ktoré má daný výraz zmysel. (Ak platí, tak sa ju pokúste zdôvodniť. Ak nie, tak nájdite aspoň jeden konkrétny kontrapríklad.)
a) $\frac1{a+b}=\frac1a+\frac1b$;
b) $\frac{a+b}{c+d} = \frac ac + \frac bd$;
c) $\frac1{ab}=\frac1a\cdot\frac1b$;
d) $\sqrt{a^2}=a$;
e) $(\sqrt{a})^2=a$;
f) $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$;
g) $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
Sústavy lineárnych rovníc
\begin{align*}
x+y+z&=0\\
x+y+2z&=0\\
2x+y+z&=1
\end{align*}
Maticový zápis tejto sústavy:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
2 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
Zápis ako súčin matice a stĺpcového vektora:
$$\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
&
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\-1 \\ 0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{ccc}
{\begin{aligned}
x+y&=3\\
3x-2y&=-1
\end{aligned}}
&
{\begin{aligned}
x+y+z&=0\\
x+2y-z&=2
\end{aligned}}
&
{\begin{aligned}
x+y+z&=0\\
x+2y-z&=2\\
2x+y+z&=1
\end{aligned}}
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccc}
{\begin{aligned}
x+y+z&=0\\
x+2y-z&=2\\
2x+3y&=1
\end{aligned}}
&
{\begin{aligned}
x+y+z&=0\\
x+2y-z&=2\\
2x+3y&=1
\end{aligned}}
&
{\begin{aligned}
x+y+z&=0\\
x+2y-z&=2\\
2x+3y&=2
\end{aligned}}
\end{array}$$
Celé čísla, deliteľnosť, indukcia
- Dokážte matematickou indukciou, že súčin troch za sebou idúcich prirodzených čísel je deliteľný šiestimi.
- Dokážte, že súčet tretích mocnín troch po sebe idúcich čísel je deliteľný $9$.
- Dokážte tvrdenie: Číslo $n$ je nepárne práve vtedy, keď $n^2$ je nepárne.
- Dokážte, že ak $k$ a $l$ sú párne čísla, tak aj číslo $k+l$ je párne. Je pravdivá aj obrátená implikácia?
- Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n\ge2$ platí $4^n>3^n+2^n$.
- Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí $\sum\limits_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2-\frac1n$
- Dokážte, že $\prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac1{(k+1)^2}\right)=\frac{n+2}{2n+2}$
- Dokážte $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$.
Reálne, komplexné čísla
- Ktoré reálne čísla spĺňajú nerovnicu $\abs{x-2}\le5$.
- Nájdite všetky reálne riešenia rovnice:
a) $\abs{x-2}+\abs{x+2}=4$;
b) $\abs{x-2}+\abs{x+2}=6$;
c) $\abs{x-2}+\abs{x+2}=2$.
- Nájdite všetky reálne riešenia rovnice:
a) $\abs{x-2}-\abs{x+2}=4$;
b) $\abs{x-2}-\abs{x+2}=6$;
c) $\abs{x-2}-\abs{x+2}=2$;
d) $\sqrt{x^2 +2x + 1}-\sqrt{x^2-4x+4}=3$.
- Pre ktoré reálne číslo $c$ má rovnica $\abs{x^2+12x+34}=c$ práve 3 riešenia?
- Nad reálnymi číslami rozložte na lineárne činitele mnohočlen $x^3+4x^2+x-6$.
- Ako sa definuje absolútna hodnota $\abs x$ reálneho (resp. komplexného) čísla $x$? Dokážte, že ak $a$, $b$ sú komplexné čísla, tak $\abs{a+b}^2+\abs{a-b}^2=2(\abs{a}^2+\abs{b}^2)$.
- Nech $i$ je imaginárna jednotka. Dokážte, že $i^{n+4}=i^n$ pre každé prirodzené číslo $n$.
- Pre ktoré reálne $x$ má komplexné číslo $x+\frac{\sqrt5}3i$ absolútnu hodnotu $1$.
- Ak máme dve komplexné čísla $z_1=\cos\alpha+i\sin\alpha$, $z_2=\cos\beta+i\sin\beta$, čomu sa rovná ich súčin $z_1z_2$? (Moivrova veta)
- ${}^*$Vedeli by ste pomocou komplexných čísel odvodiť vzorec pre $\cos 2x$, $\sin 2x$? Dalo by sa to použiť pre $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\sin nx$, $\cos nx$?
Množiny
- Množina $M$ pozostáva z párnych čísel väčších ako $\frac{17}3$ a menších ako $\frac{168}9$ a tiež z nepárnych kladných čísel menších ako $\frac{323}{32}$. Napíšte všetky prvky množiny $M$.
- Určte prienik množín $A$ a $B$, ak $A$ je množina kladných celých čísel deliteľných troma alebo piatimi, ktoré sú menšie ako $\frac{301}6$ a $B$ je množina prvočíselných deliteľov čísla $90$.
- Čomu sa rovná $A\cap B$ a $A\cup B$, ak $A=\{2n; n\in\Z\}$ a $B=\{3n; n\in\Z\}$?
- Platí $A\cap B \subseteq A \subseteq A\cup B$ pre ľubovoľné množiny $A$, $B$?
- Označme $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$. (T.j. $A\triangle B$ je tzv. symetrická diferencia množín $A$, $B$; obsahuje tie prvky, ktoré patria práve do jednej z týchto dvoch množín.) Zdôvodniť, že $A\triangle(B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$.
Rôzne
- Rozhodnite, či sa priamka v rovine, ktorá je daná rovnicou $2x-5y=-2$ pretína s priamkou, ktorej rovnica je $2x+3y=4$.
- Nájdite všetky možné predpisy, ktoré všetkým prvkom z množiny
$$M=\{\left(\frac{1+3i}{1-3i}\right)^2-\left(\frac{1-3i}{1+3i}\right)^2, \frac1i+\frac{1-i}{1+i}+\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2\}$$
jednoznačne priradia prvky z množiny reálnych čísel patriacich do $M$.
- Dokážte, že $\sqrt2$ aj $\sqrt3$ sú iracionálne čísla.
- Dokážte, že $\sqrt2+\sqrt3$ je iracionálne číslo.