Riadková ekvivalencia, úprava na RTM

• $A$ aj $B$ sú riadkovo ekvivalentné s tou istou redukovanou stupňovitou maticou;
• $S_A=S_B$ (t.j. ich riadky generujú rovnaký podpriestor).
1. Nájdite redukované trojuholníkové matice riadkovo ekvivalentné s nasledujúcimi maticami a) nad poľom $\R$ b) nad poľom $\Z_5$ $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
2. Ak sa to dá, doplňte dané vektory na bázu vektorového priestoru $(\Z_5)^4$:
   a) $(1,2,0,0)$, $(3,4,0,1)$
   b) $(1,2,3,4)$, $(1,1,1,1)$, $(3,2,1,0)$
   c) $(2,3,4,1)$, $(3,2,4,1)$, $(0,2,3,2)$
   d) $(1,3,1,4)$, $(3,0,4,3)$, $(2,3,1,1)$
3. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc typu $2\times 2$ nad poľom $\R$:
   a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$
   b) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
4. Zistite, ktoré z daných vektorov patria do podpriestoru $[(1,4,1,0),(2,3,-2,-3), (0,2,-5,-6)]$ priestoru $\R^4$: a) $(4,11,-3,-3)$, b) $(1,0,11,12)$, c) $(3,0,4,1)$, d) $(1,-1,2,-2)$, e) $(1,-1,2,3)$.
5. Zistite, či$[\vek\beta_1,\vek\beta_2]\subseteq[\vek\gamma_1,\vek\gamma_2,\vek\gamma_3]$ vo vektorovom priestor $\R^4$ nad poľom $\R$, ak $\vek\gamma_1=(1,1,5,1)$, $\vek\gamma_2=(1,0,2,1)$, $\vek\gamma_3=(2,1,0,1)$, $\vek\beta_1=(1,1,5,1)$ a $\vek\beta_2=(-1,1,6,-2)$.
6. Zistite hodnosti matíc $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -1& 3 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\ 4 &-2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 &-1 & 1 & 8 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 &-1 \\ 2 &-1 &-3 & 4 \\ 5 & 1 &-1 & 7 \\ 7 & 7 & 9 & 1 \end{pmatrix}$
7. Upravte danú maticu nad poľom $\R$ na redukovaný trojuholníkový tvar a určte hodnosť matice $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 3 & -4 & -4 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7\\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & 1 & 10 & 0 & 0 \\ 5 & 15 & 2 & 25 &-1 & -4 \\ 3 & 9 & 1 & 15 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 4 & 3 &-5 & 2 & 3 \\ 8 & 6 &-7 & 4 & 2\\ 4 & 3 &-8 & 2 & 7\\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5\\ 8 & 6 &-1 & 4 & -6 \end{pmatrix}$
8. Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in\R$ $A=\begin{pmatrix} 1 & c & -1 & 2 \\ 2 & -1 & c & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1 \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 2 & c & 2c \\ 1 & -1 & 3 & -c \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 & c+1 & 0 \\ 2 & c-1 & 2c \\ c & c & c \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 & c+1 & 0 \\ 4 & c-1 & 2c \\ c & c & c \\ \end{pmatrix} $
9. Zistite, či priestor [(2,4,4,2,4),(3,1,1,2,2),(4,3,3,2,0)] je podpriestor priestoru [(1,1,0,1,4),(2,1,3,3,1),(3,2,1,1,3)]
   a) nad $\Q$,
   b) nad $\Z_5$,
   c) nad $\Z_7$.
10. Zistite, ktoré z daných matíc sú navzájom riadkovo ekvivalentné: $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $
11. Nájdite bázu daného podpriestoru a určite jeho dimenziu:
    a) $[(1,1,0,-1), (0,1,2,1), (1,0,1,-1), (1,1,-6,-3), (-1,-5,1,0)]$ v $\R^4$;
    b) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,-2,1,0)]$ v $\R^5$
    c) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,3,1,0)]$ v $\Z_5^5$
    d) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,3,1,0)]$ v $\Z_7^5$.
12. Zistite, pre aké hodnoty parametra $c$ sú dané vektory lineárne závislé.
    a) $(-1,0,-1)$, $(2,1,2)$, $(1,1,c)$ v $\R^3$;
    b) $(1,1,3)$, $(2,1,2)$, $(c,0,-c)$ v $\R^3$;
    c) $(2,0,-1)$, $(3,2,0)$, $(1,-2,c)$ v $\R^3$.
13. Určite hodnosť matice: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\ a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\ a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ %\hdotsfor{5}\\ a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n \end{pmatrix} $$ ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla (t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$). Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt bude na prednáške neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.
    (Táto matica sa volá Vandermondova matica (Vandermonde matrix). Môžete o nej niečo viac nájsť na rôznych miestach (základné veci napríklad na Wikipédii). Determinant tejto matice je vypočítaný v príklade 6.2.17(2) a úlohe 6.2.20(2) v LAG1.)
14. Zistite hodnosť matice $$A= \begin{pmatrix} b & b &b-a\\ a-b&-b & a \\ a+b& b & 0 \end{pmatrix} $$ v závislosti od hodnôt parametrov $a,b\in\mathbb R$. (Opäť, ak sa vám to bude hodiť, môžete použiť fakt, že $h(A)=h(A^T)$.)