\documentclass{article}

\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[slovak]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{euscript}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{paralist}
\usepackage{xspace}
%\usepackage{slovak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xy}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{paralist}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[thinspaces]{fancynum}
%\usepackage[nolabel]{showlabels}
\usepackage{showlabels}
\usepackage{url}
\usepackage{comment}

\xyoption{all} \CompileMatrices

%\newcommand{\MAKDIR}{d:/martin/tex/}
%\newcommand{\MAKDIR}{j:/tex/}
\newcommand{\MAKDIR}{}
%\newcommand{\BIBDIR}{\MAKDIR bib/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR vyuka/tc2006/eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{j:/tex/vyuka/tc2006/eps/}

\input \MAKDIR makra2
\input \MAKDIR skratky2

%\includecomment{mine}
\excludecomment{mine}
\includecomment{riesenia}
%\excludecomment{riesenia}

\newcommand{\NAND}{\operatorname{NAND}}
\newcommand{\NOR}{\operatorname{NOR}}


\newcommand{\skok}{\vspace{\baselineskip}}



\begin{document}



\section*{Domáca úloha č. 1}

Zverejnená 30.9.2025 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach v~treťom týždni semestra (9.10., 10.10. -- podľa toho, do ktorej skupiny patríte).\\
%Zverejnená 20.9.2021 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach v~treťom týždni semestra (4.10., 6.10. a 7.10).
%Zverejnená 23.9.2020 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 6.10., 7.10. a 8.10.
%Zverejnená 25.9.2018 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 8.10 a 9.10.
%Zverejnená 28.9.2015 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 12.10.
%Zverejnená 24.9.2015 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 7.10. a 8.10.
Spôsob odovzdávania úloh je taký, na akom ste sa dohodli s~cvičiacim vašej skupiny.

\skok

Vo všetkých úlohách $\N$ označuje množinu prirodzených čísel, t.j. $\N=\{0,1,2,\dots\}$. Označenie $id_{\N}$ znamená identické zobrazenie na množine $\N$, t.j. zobrazenie $\Zobr{id_{\N}}{\N}{\N}$ určené predpisom $id_{\N}(n)=n$ (pre každé $n\in\N$). Treba dodržať, že ide naozaj o~zobrazenia $\N\to\N$.

Súčasťou riešenia je aj overenie toho, že navrhnuté zobrazenia skutočne spĺňajú podmienky zo zadania. (Nestačí len napísať predpisy zobrazení.) A v~prípade, že také zobrazenia neexistujú, treba uviesť zdôvodnenie (dôkaz) prečo to tak je.

\skok

\noindent 1. Nájdite príklad zobrazení $\Zobr{f,g}{\N}{\N}$ takých, že $f\circ g=id_{\N}$ a súčasne $g\circ f\ne id_{\N}$, (alebo zdôvodnite, že také zobrazenia neexistujú).

\skok

\noindent 2. Nájdite príklad zobrazenia $\Zobr f{\N}{\N}$ takého, že $f\circ f=id_{\N}$ a súčasne $f\ne id_{\N}$ (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje).

\skok

\noindent 3. Nájdite príklad zobrazení $\Zobr{f,g}{\N}{\N}$ takých, že zložené zobrazenie $g\circ f$ je injekcia ale $g$ nie je injekcia, (alebo zdôvodnite, že také zobrazenia neexistujú).

\skok

\noindent 4. Nájdite príklad zobrazení $\Zobr{f,g}{\N}{\N}$ takých, že zložené zobrazenie $g\circ f$ je surjekcia ale $f$ nie je surjekcia, (alebo zdôvodnite, že také zobrazenia neexistujú).

\skok

\noindent
%Rozdelenie -- podľa priezviska: 1 riešia A-G, 2 riešia H-M, 3 riešia N-R, 4 riešia S-Z
Rozdelenie -- podľa priezviska: 1 riešia A--D, 2 riešia E--K, 3 riešia L--R, 4 riešia S--Z

\end{document}
