\documentclass{article}

\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[slovak]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{euscript}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{paralist}
\usepackage{xspace}
%\usepackage{slovak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xy}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{paralist}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[thinspaces]{fancynum}
%\usepackage[nolabel]{showlabels}
\usepackage{showlabels}
\usepackage{url}
\usepackage{comment}

\xyoption{all} \CompileMatrices

\newcommand{\MAKDIR}{d:/martin/tex/}
%\newcommand{\MAKDIR}{j:/tex/}
%\newcommand{\MAKDIR}{}
%\newcommand{\BIBDIR}{\MAKDIR bib/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{\MAKDIR vyuka/tc2006/eps/}
%\newcommand{\OBRDIR}{j:/tex/vyuka/tc2006/eps/}

\input \MAKDIR makra2
\input \MAKDIR skratky2

%\includecomment{mine}
\excludecomment{mine}
\includecomment{riesenia}
%\excludecomment{riesenia}

\newcommand{\skok}{\vspace{\baselineskip}}



\begin{document}



\section*{Domáca úloha č. 8}

%Zverejnená 28.11.2015 -- odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 9.12. a 10.12.
%Zverejnená 1.12.2017 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 14.12.
%Zverejnená 4.12.2018 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach 17.12. a 18.12.
%Zverejnená 1.12.2020 -- odovzdáva sa najneskôr v~piatok 11.12.
%Zverejnená 24.11.2021 - odovzdáva sa najneskôr v~deň cvičenia 6.12., 8.12. a 9.12. (Spôsobom, ktorý máte v~jednotlivých skupinách dohodnutý s~cvičiacim.)
Zverejnená 26.11.2025 - odovzdáva sa najneskôr na cvičeniach v~ďalšom týždni (4.12., 5.12. -- podľa toho, do ktorej skupiny patríte).

Zadanie vo všetkých skupinách: Vypočítajte hodnosť parametra v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$.

Explicitne napíšem, že je povolené používať tieto veci:
\begin{compactitem}
  \item Na cvičeniach sme spomenuli, že $h(A)=h(A^T)$. (Z~toho tiež vyplýva, že pri výpočte hodnosti môžeme kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy.) Tento fakt sme ešte na prednáške nedokázali -- pri riešení ho môžete pokojne používať.
  \item Na výpočet tohto typu úloh sa dajú používať aj determinanty. Tie dovtedy prebrať nestihneme; ale ak determinanty viete rátať (alebo sa to naučíte aspoň pre matice $3\times3$ z~poznámok), tak ich tiež môžete použiť. Ak použijete determinanty, napíšte jasné zdôvodnenie toho, čo ste pomocou nich zistili a prečo platí to, čo tvrdíte o~hodnosti.
\end{compactitem}


%Na cvičeniach sme spomenuli, že $h(A)=h(A^T)$. (Z~toho tiež vyplýva, že pri výpočte hodnosti môžeme kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy.) Tento fakt sme ešte na prednáške nespomínali -- ale stihneme ho prebrať do termínu odovzdania tejto úlohy -- pri riešení ho môžete pokojne používať.

%Na výpočet tohoto typu úloh sa dajú používať aj determinanty. Tie dovtedy prebrať nestihneme; ale ak determinanty viete rátať (alebo sa to naučíte aspoň pre matice $3\times3$ z~poznámok), tak ich samozrejme tiež môžete použiť.

\skok

\noindent 1.
$\begin{pmatrix}
  c & c+1 & 1 \\
  1 &  -1 & 1 \\
  1 &  c  & 1
\end{pmatrix}$

\skok

\noindent 2. $\begin{pmatrix}
  c & c+1 &-1 \\
 -c &  -c & 1 \\
  1 &  c  &-1
\end{pmatrix}$

\skok

\noindent 3. $\begin{pmatrix}
  c & c+1 &-1 \\
 -c &  1  & c \\
  1 &  1  &-1
\end{pmatrix}$

\skok

\noindent 4. $\begin{pmatrix}
  1 & c+1 & c+2 \\
 -c & c+1 & 1 \\
  c & 1 & 0
\end{pmatrix}$


\skok

\noindent
%Rozdelenie -- podľa priezviska: 1 riešia A-G, 2 riešia H-M, 3 riešia N-R, 4 riešia S-Z
\input{mena}

\end{document}

