Determinant tridiagonálnej matice

[Martin Sleziak]

Úlohou je vyrátať determinant
$D_n=
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots && \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix}$
(Úloha 6.2.20(4).)

Návod: Skúste použiť Laplaceov rozvoj a vyjadriť $D_n$ pomocou $D_{n-1}$ a $D_{n-2}$.

Spoiler:

Mali by ste dostať $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$.

Zrátajte prvých pár hodnôt a skúste prísť na to, čomu sa rovná $D_n$. Tento vzorec potom môžete overiť indukciou.

Spoiler:

Mali by ste dostať $D_1=2, D_2=3, D_3=4, \ldots$
Indukciou sa dá dokázať, že $D_n=n+1$

Ak by náhodou uvedené hinty nestačili, tak kompletnejšie riešenie sa dá nájsť tu: https://msleziak.com/vyuka/2014/la/riesene.pdf

Nejaké pobodné príklady s inými číslami:
* https://math.stackexchange.com/question ... nal-matrix
* https://math.stackexchange.com/question ... -induction
* https://math.stackexchange.com/question ... fic-matrix

Tiež si môžete všimnúť, že to je špeciálny prípad úlohy vypočítať
$D_n=
\begin{vmatrix}
a+b & ab & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & a+b & ab & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & a+b & ab & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots && \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & a+b & ab \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & a+b
\end{vmatrix}
=? $

Spoiler:

V podstate rovnakým postupom by ste v tomto prípade mali dostať
$D_1=a+b$, $D_2=(a+b)^2-ab=a^2+ab+b^2$, $D_3=(a+b)^3-2(a+b)ab=a^3+a^2b+ab^2+b^3$
$D_{n+2}=(a+b)D_{n+1}-abD_n$
$D_n=a^n+a^{n-1}b+\dots+ab^{n-1}+b^n$

EDIT: Ďalší topic týkajúci sa tohto príkladu pribudol tu: viewtopic.php?t=1019