Prednášky ZS 2021/22 - všeobecná topológia

[Martin Sleziak]

18. prednáška: (29.11.)
Aplikácie kompaktnosti.
Slabá*-topológia, Banach-Alaogluova veta.
Rozšírenia limity. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je multiplikatívny. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je invariantný na posun. (Súčasne dostávame, že $\ell_\infty^*\ne\ell_1$.)

19. prednáška: (2.12.)
Súvislé priestory. Definícia a ekvivalentné podmienky. Uzavretý interval je súvislý priestor.
Ak priestor má hustú súvislú podmnožinu, tak je súvislý. Spojitý obraz súvislého priestoru je súvislý.
Charakterizácia pomocou reťazí (simple chain).
Súčin súvislých priestorov.

[Martin Sleziak]

20. prednáška: (6.12.)
Komponenty súvislosti.
Lineárne súvislé priestory.
Lokálne súvislé priestory.
V súvislosti so súvislosťou sme spomenuli dôkazovú techniku, ktorá sa nazýva indukcia na reálnej osi - nejaké odkazy sa dajú nájsť v texte a aj tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?p=2916#p2916

21. prednáška: (9.12.)
Lokálne kompaktné priestory.
Jednobodová kompaktifikácia.

[Martin Sleziak]

22. prednáška: (13.12.)
Parakompaktné priestory.
Zjemnenie, definícia parakompaktného priestoru.
Každý kompaktný $T_2$-priestor je parakompaktný.
Ekvivalentné podmienky k parakompaktnosti.
Lindelöfovské priestory.
Definícia Lindelöfovského priestoru.. Lindelöfovský $T_3$-priestor je parakompaktný.
Uzavretý podpriestor a spojitý obraz Lindelöfovského priestoru. Každý kompaktný priestor je Lindelöfovský. Každý priestor so spočítateľnou bázou topológie je Lindelöfovský.

23. prednáška: (16.12.)
Parakompaktné priestory.
Definícia rozkladu jednotky a lokálne konečného rozkladu jednotky. Priestor je parakompaktný p.v.k. pre každé otvorené pokrytie existuje podriadený lokálne konečný rozklad jednotky.
Každý parakompaktný priestor je normálny.
Každý metrizovateľný priestor je parakompaktný.