Možné témy na seminár

[Martin Sleziak]

Tu by som rád začal zbierať nejaké návrhy na možné témy, ktorým by sme sa mohli niekedy na seminár venovať.

Ak budete mať nejaké nápady, tak môžete sem napísať.

Vytvoril som aj samostatný topic na články, ktoré by sme mohli na seminári čítať: viewtopic.php?t=925

[Martin Sleziak]

Ideály odvodené od submier

Vo viacerých článkoch sme narazili na to, že sa využívala charakterizácia analytických P-ideálov a $F_\sigma$-ideálov pomocou zdola polospojitých submier.

Konkrétne analytické $P$-ideály sú presne ideály, ktoré sa dajú vyjadriť v tvare.
$$\operatorname{Exh}(\phi)=\{A\subseteq\mathbb N; \|A\|_\phi = 0\}$$
kde $\|A\|_\phi=\limsup_{n\to\infty} \phi(A\setminus n)=\lim_{n\to\infty} \phi(A\setminus n)$.
Ďalej $F_\sigma$-ideály sú práve tie ideály, ktoré sa dajú vyjadriť ako
$$\operatorname{Fin}(\phi)=\{A\subseteq\mathbb N; \phi(A)<\infty\}.$$
V oboch prípadoch $\phi$ označuje zdola polospojitú submieru.

Teda tvrdí sa, že každý analytický P-ideál/každý $F_\sigma$ ideál sa dá dostať takým spôsobom z nejakej lsc submiery $\phi$.

V článkoch, ktoré sme študovali, sme videli, že tieto triedy ideálov zahŕňajú veľa známych ideálov, s ktorými sme pracovali. Takže ak vieme dokázať nejaký výsledok pre ideály takéhoto tvaru, tak ho máme dokázaný pre naozaj širokú triedu ideálov. Možno by bolo celkom užitočné zvyknúť si s takýmito ideálmi pracovať.

Mne by sa teda zdal užitočný nejaký úvodný referát, kde by sa napríklad ukázalo:

• Že ideály tohoto tvaru sú skutočne $F_\sigma$ resp. analytické.
• Že sú to P-ideály.
• Ako treba zvoliť submieru $\phi$, aby sme dostali niektoré ideály, na ktoré sme zvyknutí (napríklad $\mathcal I_d$, $\mathcal I_c$ a pod).

V princípe si myslím, že veľa takýchto vecí by sa dalo nájsť v úvodnej kapitole knihy Farah I. Analytic Quotients. Len si to bude treba prejsť a povyberať tie veci, čo sa zaujímajú. Iný možný zdroj je kniha Kanovei Borel equivalence relations.

[Martin Sleziak]

Dnes padol návrh, že jedna z možných tém by bola Kurzweil-Henstockov integrál (ktorý je známy aj pod veľa ďalšími menami).
Bolo by však treba vybrať, podľa akého textu by sme túto tému prebrali.

Zdá sa, že nejaký prístup k nemu je aj v kapitole 22 knihy ktorú čítame. (Prinajmenšom podľa poznámok na konci tejto kapitoly - skopíroval som ich nižšie.) Ale podľa zbežného pohľadu sa zdá, že používajú nejakú pomerne neštandardnú definíciu.

Spoiler:

Our Perron integral is, by definition, the same as the $\mathscr P^0$-integral introduced in Saks (no date). By Saks' results VIII.3.9 and 3.11, a posteriori it turns out to be identical to the objects called the Perron integral (or $\mathscr P$-integral) and the restricted Denjoy integral (or $\mathscr D_*$-integral) defined in Saks' book. It also coincides with the Riemann-complete integral devised by R. Henstock (Can. J. Math. 20 (1968), 79-87. See H. W. Pu, Coll. Math. 28 (1973), 105-10).
For further theory we again refer to Saks.

Ak niekto z nás nájde staré poznámky, keď sa kedysi tento integrál už na seminári prof. Šaláta preberal, tak sa možno dá pozrieť, podľa čoho sa to študovalo vtedy.
Prípadne by sa možno hodili niektoré zo zdrojov uvedených tu: Looking for an accessible explanation of Henstock–Kurzweil (gauge) integral. Aj tento post vymenúva nejaké zaujímavé knihy - ktoré sa týkajú rôznych integrálov, nie iba tohoto typu integrálu.

EDIT: Renáta Masárová našla v starých poznámkach, že na seminári sa kedysi čítal tento článok:
Charles Swartz and Brian S. Thomson: More on the Fundamental Theorem of Calculus, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7, pp. 644-648. http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf http://www.jstor.org/stable/2323311

EDIT2: V prípadnej diskusii o tom, čo konkrétne o týchto integráloch by sme mohli odreferovať a z akých zdrojov môžeme pokračovať tu: viewtopic.php?f=41&t=994

[Martin Sleziak]

Ak by sme niekedy mali čas a chuť, tak možno zaujímavá téma je aj indukcia v kontinuu (indukcia na reálnej osi). Zdá sa to byť vcelku užitočná metóda, ktorou sa dajú viaceré veci z reálnej analýzy dokázať.

Dá sa sformulovať viacerými pomerne podobnými spôsobmi, napríklad takto:

Uvažujme interval $[a,b]$ a nejakú podmmnožinu $S\subseteq[a,b]$. Nech navyše táto podmnožina spĺňa podmienky:

• $a\in S$;
• ak $x\in S$ pre nejaké $x<b$, tak existuje $y>x$ také, že $[x,y]\subseteq S$;
• ak pre $x\le b$ platí $[a,x)\subseteq S$, tak aj $x\in S$.

Potom $S=[a,b]$.

Jeden text, ktorý sa zdá byť dobrým úvodom k tejto téme, je Pete L. Clark: The Instructor's Guide to Real Induction; https://arxiv.org/abs/1208.0973 http://alpha.math.uga.edu/~pete/realinduction.pdf (Wayback Machine) http://alpha.math.uga.edu/~pete/instruc ... e_2017.pdf
Ja som sa vlastne o ňom dozvedel odtiaľto: Induction on Real Numbers.

Je celkom možné, že sa o tejto téme hovorilo na tomto seminári - ale pravdepodobne to ešte predtým, než som naň začal chodiť ja.
Pamätám si, že o indukcii v kontinuu som si niečo prečítal v knihe T. Šalát, J. Smítal: Teória množín. A venujú sa jej aj články

• T. Šalát: Remarks on unifying principles in real analysis. Real Anal. Exchange 10 (1984/85), no. 2, 343-348.
• H. Bereková: The principle of induction in continuum and related methods. Acta Math. Univ. Comenian. 40(41) (1982), 97-100.

[Martin Sleziak]

Funkcionálna analýza je azda tiež blízka témam, ktoré robíme na seminári. (Prinajmenšom v tom, že sa často dá aplikovať vo veciach čo používame.)

Možno by sa dalo porozprávať niečo o Zabreikovej leme, čo je výsledok, z ktorého sa dajú odvodiť viaceré dôležité vety funkcionálnej analýzy. Celkom dobrý prehľad o čo ide sa dá získať tu: Zabreiko’s lemma and four fundamental theorems of functional analysis. Dá sa nájsť aj v knihe Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory.

Ak by sme sa rozhodli, že nás to zaujíma a chceme sa na to pozrieť, odhadoval by som že to vyjde na jeden seminár.