Prednášky LS 2021/22 - teória množín

[Martin Sleziak]

12. týždeň (2.5.)
Hľadanie pevných bodov. Pozreli sme sa na nejaké veci o pevných bodoch, ako sa dajú hľadať pomocou iterácií a tiež na to ako sa takéto iterácie dajú nakresliť.
Dokázali sme Banachovu vetu o pevnom bode.
Ukázali sme si babylonskú metódu hľadania druhej odmocniny.

Stručne sme spomenuli aj to, že aj na prvý dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety sa dá pozerať ako na hľadanie pevného bodu. (Potrebovali sme tam množinu takú, že $F(C)=C$.) Rozdiel je ale ten, že nepracujeme s reálnou funkciou ale s $\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)$.
Obe situácie sa dajú nejako zovšeobecniť na úplné zväzy. Konkrétne dôkaz, ktorý sme robili na dôkaz existencie množiny s vlastnosťou $F(C)=C$, by sa dal s malými zmenami upraviť na dôkaz Knaster-Tarského vety.

[Martin Sleziak]

13. týždeň (9.5.)
Cauchyho funkcionálna rovnica
Pozeráme sa na problém, či by sme vedeli nájsť všetky funkcie $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ také, že
$$(\forall x,y\in\mathbb r) f(x+y)=f(x)+f(y). \tag{C]$$
Takýmto funkciám sa niekedy zvykne hovoriť aditívne funkcie, uvedená rovnica je Cauchyho funkcionálna rovnica.
Ukázali sme si, že:

• Riešenia určite spĺňajú $f(rx)=rf(x)$ pre každé $r\in\mathbb Q$.
• Všetky funkcie tvaru $f(x)=ax$ sú riešeniami.
• Každé spojité riešenie má takýto tvar.
• Ľubovoľné nespojité riešenie má hustý graf, t.j. množina $\{(x,f(x)); x\in\mathbb R\}$ bude hustá v rovine.

Zostáva stále otázka, že či existujú aj nespojité riešenia. Povedali sme si, že existencia nespojitých riešení sa dá ukázať na základe axiómy výberu.

Jeden možný postup sa opiera o princíp dobrého usporiadania a o transfinitnú indukciu. Stručne sme si vysvetlili, že mám takúto funkciu na $\mathbb Q$ a vieme postupne zväčšovať definičný obor. Ak by sme takto postupovali ďalej - niečo podobné ako indukcia, ale pokračovali by sme za hranice prirodzených čísel - tak by sa nejako dala dostať funkcia na celom $\mathbb R$.

Iná možnosť je pozrieť sa na tento problém ako na lineárne zobrazenia $V\to V$, kde vektorový priestor $V$ je množina reálnych čísel chápaná ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Tento priestor nie je konečnorozmerný. Ak by sme mali k dispozícii pojem bázy aj pre nekonečnorozmerné priestory a niektoré výsledky, ktoré sme dokázali v konečnorozmernom prípade, tak by sme nejako vedeli ukázať existenciu nespojitých riešení.

Báza v nekonečnorozmerných priestoroch
Povedali sme si, ako sa dá definovať báza v nekonečnorozmerných priestoroch - niekedy sa jej hovorí aj Hamelova báza.
Ako konkrétny príklad sme si ukázali postupnosti, ktoré majú len konečne veľa nenulových členov. (Bázu tvorili postupnosti, ktoré majú
Bez dôkazu sme spomenuli, že pomocou AC sa dá ukázať, že každý vektorový priestor má bázu. (Dokonca aj to, že každá lineárne nezávislá množina má bázu.)
Dokázali sme, že aj v nekonečnorozmernom prípade dostaneme práve jedno lineárne zobrazenie, ak máme predpísané, kam sa majú zobraziť prvky bázy.
Bez dôkazu sme spomenuli, že ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu. Teda aj tu sa dá definovať pojem dimenzie - len teraz to už bude nejaké kardinálne číslo, môže byť aj nekonečné.

Veci, o ktorých sme hovorili sa dajú nájsť:
* V slajdoch na stránke: 06choice.pdf - aj keď tam sú vlastne iba sformulované tvrdenia.
* V poznámkach k tomuto predmetu podľa starej akreditácie: https://msleziak.com/vyuka/2014/temno/ - tam by mali byť v podstate všetky veci, ktoré sme dnes prešli, okrem prístupu cez transfinitnú indukciu.
* V poznámkach k predmetu Aplikácie teórie množín je v úvode vlastne presne to, čo sme brali ako naznačenie toho, že ako funguje dôkaz existencie nespojitých riešení transfinitnou indukciou. (V oboch textoch je o transfinitnej indukcii toho viac - ale tento úvod je taký, že by sa mal dať čítať v podstate bez prípravy. Na čítanie vecí, kde sa už naozaj transfinitná indukcia formálne zavedie, treba nejakú dosť dlhú prípravu.)