Inverzná matica $3\times3$ s parametrom

[Martin Sleziak]

Iná úloha na inverznú maticu s parametrom: viewtopic.php?t=1020 $\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$

Vypočítajte maticu $\inv A$ pre zadanú maticu $A$ rozmerov $3\times 3$ nad poľom $\mathbb R$ v závislosti od hodnoty parametra $a\in\mathbb R$. (A súčasne zistite, pre ktoré hodnoty parametra inverzná matica neexistuje.)
$$A=\begin{pmatrix}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a \\
a & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

Výsledok je
$$\inv A=\frac1{a^3+1}
\begin{pmatrix}
1 &-a & a^2 \\
a^2& 1 &-a \\
-a &a^2& 1 \\
\end{pmatrix}
$$
Platí to pre $a^3+1\ne0$. Teda v $\mathbb R$ je jediná výnimka $a=-1$. (A v $\mathbb C$ by sme dostali ďalšie dve možnosti, kedy $A$ nie je regulárna.)

Nie je veľmi ťažké urobiť skúšku -- priamo vynásobením.

Spoiler:

$$
\begin{pmatrix}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a \\
a & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-a & a^2 \\
a^2& 1 &-a \\
-a &a^2& 1 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1+a^3& 0 & 0 \\
0 &1+a^3& a \\
0 & 0 &a^3+1\\
\end{pmatrix}
=(a^3+1)I
$$

Nejaké drobné poznámky:
* Matica je pomerne jednoduchá - máme tri konštantné diagonály (hlavná a dve vedľajšie).
* Asi by nás teda neprekvapilo, keby sme aj výsledok dostali v takejto podobe (s konštantnými diagonálami).
* Ukážeme si aj iné možnosti - ale pre $3\times3$ by nemalo byť príliš ťažké urobiť to aj štandardným postupom cez ERO.

[Martin Sleziak]

Pomocou riadkových úprav

Môžeme postupovať úplne štandardným postupom - akurát si musíme dať pozor na miestach, kde delíme výrazom s parametrom.

$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & a & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
a & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac1{a^3+1} & \frac{-a}{a^3+1} & \frac{a^2}{a^3+1} \\
0 & 1 & 0 & \frac{a^2}{a^3+1} & \frac1{a^3+1} & \frac{-a}{a^3+1} \\
0 & 0 & 1 &\frac{-a}{a^3+1} & \frac{a^2}{a^3+1} & \frac1{a^3+1}
\end{array}\right)
$

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & a & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
a & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
a+1&a+1&a+1& 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
a & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 1 & \frac1{a+1} & \frac1{a+1} & \frac1{a+1} \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
a & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 1 & \frac1{a+1} & \frac1{a+1} & \frac1{a+1} \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
0 &-a &1-a&\frac{-a}{a+1} & \frac{-a}{a+1} & \frac1{a+1}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 &1-a& \frac1{a+1} & \frac{-a}{a+1} & \frac1{a+1} \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1-a+a^2&\frac{-a}{a+1} & \frac{a^2}{a+1} & \frac1{a+1}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 &1-a& \frac{a^2-a+1}{a^3+1} & \frac{-a^3+a^2-a}{a^3+1} & \frac{a^2-a+1}{a^3+1} \\
0 & 1 & a & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &\frac{-a}{a^3+1} & \frac{a^2}{a^3+1} & \frac1{a^3+1}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac1{a^3+1} & \frac{-a}{a^3+1} & \frac{a^2}{a^3+1} \\
0 & 1 & 0 & \frac{a^2}{a^3+1} & \frac1{a^3+1} & \frac{-a}{a^3+1} \\
0 & 0 & 1 &\frac{-a}{a^3+1} & \frac{a^2}{a^3+1} & \frac1{a^3+1}
\end{array}\right)$

V dvoch krokoch sme delili výrazom s parametrom - raz sme delili výrazom $a+1$ a raz výrazom $a^2-a+1$.
Uvedené úpravy sú teda legitímne v prípadoch, keď sú tieto výrazy nenulové. Ekvivalentne to môžeme povedať aj tak, že $a^3-1=(a+1)(a^2-a+1)\ne0$.
V reálnych číslach to znamená, že $a\ne-1$.

Treba si ešte rozmyslieť, že pre $a=1$ dostávame singulárnu maticu.

[Martin Sleziak]

Môžeme vyskúšať aj taký typ riešenia aký sme už videli inde - pozrieť sa na to, či nevieme dostať nejaký jednoduché vyjadrenie pre mocniny matice $A$ a na to, či pomocou nich nevieme dostať jednotkovú maticu.$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$

Označme si
$$P=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
a všimnime si, že
$$P^2=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
a $P^3=I$.

Spomeniem, že takáto matica patrí medzi permutačné matice, s ktorými sa ešte stretnete. (Zodpovedajúce lineárne zobrazenie je vlastne permutácia súradníc - konkrétne cyklický posun.)

\begin{align*}
A&=I+aP\\
A^2&=I+2aP+a^2P^2\\
A^3&=(a^3+1)I+3aP+3a^2P^2
\end{align*}
Môžem skúšať, či vieme nejako z~týchto vecí nakombinovať násobok $I$.
\begin{align*}
A^3&=(a^3+1)I+3(A^2-A)\\
A^3-3A^2+3A&=(a^3+1)I\\
A(A^2-3A+3I)&=(a^3+1)I
\end{align*}
Vidím, že inverznú maticu môžem vyjadriť pomocou
\begin{align*}
A^2-3A+3I
&=(I+2aP+a^2P^2)-3(I+aP)+3I\\
&=I-aP+a^2P^2\\
&=\begin{pmatrix}
1 &-a & a^2 \\
a^2& 1 &-a \\
-a &a^2& 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

[Martin Sleziak]

Pretože $3\times3$ je pomerne malý rozmer, môžeme vyskúšať aj vyjadrenie inverznej matice pomocou determinantu. (Takéto niečo ešte len budeme preberať - ale keď sa táto téma objaví, tak sa môžete skúsiť vrátiť napríklad aj k tomuto príkladov.)$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$

Najprv poďme vypočítať determinant:
$$\det(A)=
\begin{pmatrix}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a \\
a & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}=1+a^3
$$
Ešte potrebujeme vypočítať adjungovanú maticu - to vlastne znamená vypočítať deväť determinantov $2\times2$ a pridať správne znamienko.
Dostaneme
$$\operatorname{adj}(A)=
\begin{pmatrix}
1 &-a &a^2\\
a^2& 1 &-a \\
-a &a^2& 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
A teda máme
$$\inv A=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj(A)}=
\frac1{a^3+1}
\begin{pmatrix}
1 &-a & a^2 \\
a^2& 1 &-a \\
-a &a^2& 1 \\
\end{pmatrix}.$$