Inverzná matica s parametrom

[Martin Sleziak]

V závislosti od hodnoty parametra $a\in\mathbb R$ nájdite inverznú maticu k matici
$$
A=\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a \\
\end{pmatrix}.
$$
Nájdite aj všetky hodnoty parametra $a$, pre ktoré inverzná matica $A^{-1}$ neexistuje.

Azda by vám to mohlo trochu pripomínať niektoré úlohy na sústavy s parametrom, ktoré ste videli (aj v PÚ): viewtopic.php?t=579 (V prednáškových úlohách ale boli iné pravé strany ako na tejto linke.)

[Martin Sleziak]

Skúsme najprv riešenie riadkovými úpravami:

$
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
a & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & a & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & a & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & a & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
a+3&a+3&a+3&a+3& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & a & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & a & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\overset{(1)}\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 1 & 1 & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} \\
1 & a & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & a & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & a & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 1 & 1 & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} \\
0 &a-1& 0 & 0 &-\frac1{a+3} & \frac{a+2}{a+3} &-\frac1{a+3} &-\frac1{a+3} \\
0 & 0 &a-1& 0 &-\frac1{a+3} &-\frac1{a+3} & \frac{a+2}{a+3} &-\frac1{a+3} \\
0 & 0 & 0 &a-1&-\frac1{a+3} &-\frac1{a+3} &-\frac1{a+3} & \frac{a+2}{a+3}
\end{array}\right)\overset{(2)}\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 1 & 1 & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} & \frac1{a+3} \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} \\
0 & 0 & 1 & 0 &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)}
\end{array}\right)\overset{(3)}\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} \\
0 & 0 & 1 & 0 &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} &-\frac1{(a-1)(a+3)} & \frac{a+2}{(a-1)(a+3)}
\end{array}\right)$

$(1)$ iba pre $a\ne-3$
$(2)$ iba pre $a\ne1$
$(3)$ prvý riadok sa dá doplniť (okrem prvej pozície) aj na základe toho, že máme dostať symetrickú maticu

Zostáva ešte skontrolovať, že pre $a=3$ ani pre $a=1$ to nie je regulárna matica.

Možno keby sme volili operácie, ktoré robíme, menej šikovne, tak by sme dostali výrazne dlhší postup. Ale vidíme, že v princípe funguje úplne štandardný postup. (Aj tak to ale ešte skúsime inak.)

[Martin Sleziak]

Označme $b=a-1$ a všimnime si, že $A=bI+E$, kde $E$ je matica pozostávajúca zo samých jednotiek. Tiež si môžeme všimnúť, že $E^2=4E$. Potom máme
\begin{align*}
A&=bI+E\\
A^2&=b^2I+2bE+4E\\
A^2-(2b+4)A&=-(b^2+4b)I\\
A[A-(2b+4)I]&=-b(b+4)I
\end{align*}
z čoho dostaneme
\begin{align*}
A^{-1}&=-\frac1{b(b+4)}[A-(2b+4)I]\\
A^{-1}&=-\frac{E-(b+4)I}{b(b+4)}\\
A^{-1}&=\frac1{b(b+4)}
\begin{pmatrix}
b+3&-1 &-1 &-1 \\
-1 &b+3&-1 &-1 \\
-1 &-1 &b+3&-1 \\
-1 &-1 &-1 &b+3\\
\end{pmatrix}
\end{align*}

[Martin Sleziak]

Môžeme skúsiť jednoducho vypočítať $A^2$. Umocnením dostaneme
$$A^2=
\begin{pmatrix}
a^2+3 & 2a+2 & 2a+2 & 2a+2 \\
2a+2 & a^2+3 & 2a+2 & 2a+2 \\
2a+2 & 2a+2 & a^2+3& 2a+2 \\
2a+2 & 2a+2 & 2a+2 & a^2+3 \\
\end{pmatrix}.
$$
Potom si už môžeme všimnúť, že
$$A^2-(2a+2)A=
\begin{pmatrix}
-a^2-2a+3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -a^2-2a+3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -a^2-2a+3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -a^2-2a+3 \\
\end{pmatrix}=-(a-1)(a+3)I.
$$
Túto rovnosť môžeme upraviť na
\begin{align*}
A(A-2(a+1)I)&=-(a-1)(a+3)I\\
A^{-1}&=-\frac1{(a-1)(a+3)}(A-2(a+1)I)\\
A^{-1}&=\frac1{(a-1)(a+3)}
\begin{pmatrix}
a+2&-1 &-1 &-1 \\
-1 &a+2&-1 &-1 \\
-1 &-1 &a+2&-1 \\
-1 &-1 &-1 &a+2
\end{pmatrix}
\end{align*}