Výpočet $A^{-1}$, $B^{-1}$ a $(AB)^{-1}$

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Pre zadané matice nad poľom $\mathbb R$ vypočítajte $\inv A$, $\inv B$ a $\inv{(AB)}$.
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
-1 & 2 &-1 \\
2 &-1 & 1 \\
1 &-1 & 1
\end{pmatrix}$$

Správne výsledky sú:
\begin{align*}
\inv A&=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
2 &-1 &-2 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\\
\inv B&=\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 3
\end{pmatrix}\\
AB&=\begin{pmatrix}
5 &-2 & 3 \\
4 &-3 & 3 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
\inv{(AB)}&=\begin{pmatrix}
3 &-2 &-3 \\
-2 & 1 & 3 \\
-6 & 4 & 7
\end{pmatrix}
\end{align*}

Inverznú maticu k $A$ aj k $B$ môžeme vypočítať štandardným postupom, ktorý sme sa naučili.
Pripomeniem, že tento postup má aj tú výhodu, že skúška sa dá robiť aj v strede výpočtu, nie iba na konci: viewtopic.php?t=531

Spoiler:

Výpočet $\inv A$:
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 &-2 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 &-1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 &-1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 2 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 1
\end{array}
\right)$

Výpočet $\inv B$:
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \\
2 &-1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 &-1 \\
1 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 &-1 & 3
\end{array}
\right)
$

[Martin Sleziak]

Inverznú maticu k $AB$ môžeme vypočítať ako súčin inverzných matíc k $B$ a k $A$ v správnom poradí, t.j.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
$$\inv{(AB)}=\inv B\cdot\inv A.$$
Alebo môžeme jednoducho vypočítať $AB$ a hľadať inverznú k súčinu. Prípadne môžeme urobiť aj oboje -- ak pri výpočtoch nemáme nejakú chybu, mal by vyjsť rovnaký výsledok.

Súčin $\inv B\cdot \inv A$ je
$$\inv B\cdot\inv A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
2 &-1 &-2 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3 &-2 &-3 \\
-2 & 1 & 3 \\
-6 & 4 & 7
\end{pmatrix}
$$

Súčin $A\cdot B$ je
$$AB=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
-1 & 2 &-1 \\
2 &-1 & 1 \\
1 &-1 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5 &-2 & 3 \\
4 &-3 & 3 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
a ak vypočítame inverznú maticu (obvyklým postupom), opäť dostaneme
$$\inv{(AB)}=\begin{pmatrix}
3 &-2 &-3 \\
-2 & 1 & 3 \\
-6 & 4 & 7
\end{pmatrix}$$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
5 &-2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
4 &-3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \\
4 &-3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \\
0 &-3 &-1 & 0 & 1 &-2 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \\
0 &-3 & 1 & 0 & 1 &-2 \\
0 &-2 & 1 &-2 & 2 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 2 &-1 &-3 \\
0 &-2 & 1 &-2 & 2 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 3 &-2 &-3 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1 &-6 & 4 & 7
\end{array}
\right)
$