Úlohy ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Oveľa neskôr ako som sľúbil, ale predsa - nejaké úlohy na zobrazenie. (Úlohy na binárne operácie a grupy, ktoré by mali pribudnúť tento týždeň, sa budem snažiť pridať skôr.)

Úloha 1.1. Dokážte: Nech $f,g\colon X\to Y$ a $h\colon Y\to Z$ sú zobrazenia. Ak $h$ je injekcia a $h\circ f=h\circ g$, tak $f=g$.

Úloha 1.2. Dokážte: Nech $f,g\colon Y\to Z$ a $h\colon X\to Y$ sú zobrazenia. Ak $h$ je surjekcia a $f\circ h=g\circ h$, tak $f=g$.

Úloha 1.3. Dokážte alebo nájdite kontrapríklad: Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ je injekcia.

Úloha 1.4. Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n=id$, ak $\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{pmatrix}$. Vypočítajte aj $\varphi^{-1}$.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
1 Ivan Agarský
1 Andrej Korman

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Ak viete, že ide o tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Úloha 2.2. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je
bijekcia.

Úloha 2.3. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Úloha 2.4. Nech $(G,\ast)$ je grupa. Dokážte, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ existuje práve jedno $a$ také, že $x\ast a=y$. (Toto vlastne hovorí, že v tabuľke grupovej operácie sa v riadku $x$ vyskytne prvok $y$ práve raz.)

Úloha 2.5. Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $A$, taká, že pre každé $a,b,c \in A$ platí $a\ast(b\ast c)=(a\ast c)\ast b$ a $\ast$ má neutrálny prvok. Dokážte, že operácia $\ast$ je komutatívna a asociatívna.

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Dokážte, že:
a) V ľubovoľnom poli platí $(a+b)^m= a^m + \binom m1 \times a^{m-1}b + \binom m2 \times a^{m-2}b^2+ \ldots + \binom m{m-1} ab^{m-1} + b^m$. (Súčet na pravej strane sa zvykne označovať takto: $\sum_{k=0}^m \binom mk \times a^{m-k}b^k$.)
b) V poli $\mathbb Z_p$ platí: $(a\oplus b)^p=a^p \oplus b^p$.
Čo znamená $n\times a$ pre $n\in\mathbb N$ a prvok $a$ nejakého poľa nájdete v definícii 3.3.12.

Úloha 3.2. Pomocou úlohy 3.1 dokážte matematickou indukciou vzhľadom na $a$, že v $\mathbb Z_p$ platí rovnosť $a^p=a$ (pre ľubovoľné $a\in\mathbb Z_p$). (Toto je vlastne iná formulácia malej Fermatovej vety.)

Úloha 3.3. Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne
grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je
$(M,+,\cdot)$ pole?

Úloha 3.4. Zistite, či $F=\{a+\frac b{\sqrt2}; a\in \mathbb Q, b\in \mathbb Q\}$ je pole. (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Úloha 3.5. Dokážte, že v ľubovoľnom poli platí $x^2=y^2$ $\Leftrightarrow$ $x=y$ $\lor$ $x=-y$.

Úloha 3.6. a) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ dve riešenia.
b) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ jediné riešenie.
c) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ nemá riešenie?
d) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ viac ako dve riešenia?
e) Nájdite odpovede na rovnaké otázky pre rovnicu $x^2=-1$.

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1. Dokážte, že vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$ pre každé $\vec\alpha, \vec\beta\in V$, $c\in F$ platí $c(\vec\alpha-\vec\beta)=c\vec\alpha-c\vec\beta$.

Úloha 4.2. Pre celé číslo $n$ a vektor $\vec\alpha$ definujeme $n\times\vec\alpha$ podobným spôsobom, ako sme definovali $n\times a$ pre prvok $a$ nejakého poľa $F$ (definícia 3.3.12). Dokážte, že potom platí $n\times(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)$.

Úloha 4.3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Úloha 4.4. $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\R}{\mathbb R}$Overte, či množina všetkých zobrazení $\Zobr f{\R}{\R}$ spĺňajúcich podmienku
$$(\forall x,y\in\R) f(x+y)=f(x)+f(y)$$
je podpriestorom priestoru $\R^{\R}$. (Tejto podmienke sa zvykne hovoriť Cauchyho funkcionálna rovnica.)

Úloha 4.5. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ a $S\ne\emptyset$ je podmnožina $V$. Ukážte, že $S$ je podpriestor $V$ práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$ a $\vec\alpha,\vec\beta\in S$ platí $\vec\alpha+c\vec\beta\in S$.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
3 Ivan Agarský
3 Martin Pašen
1 Andrej Korman
1 Weiwei Chen

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Nech $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, kde $V$ je ľubovoľný vektorový priestor. Dokážte: Ak $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ sú lineárne závislé a súčasne $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú lineárne nezávislé, tak $\vec\gamma$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$.

Úloha 5.2. Ukážte, že $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$.

Úloha 5.3. Zistite, či funkcie $1$, $2^x$, $3^x$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$.

Úloha 5.4. Množiny $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\}$ a $T=\{(x,y,z); x+2y+3z=x-y+z=0\}$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. Ukážte, že ak vezmeme ľubovoľný nenulový vektor $\vec\alpha\in S$ a ľubovoľný nenulový vektor $\vec\beta\in T$, tak tieto vektory sú lineárne nezávislé.

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

Úloha 6.2. Ukážte, že polynómy stupňa najviac 3 tvoria podpriestor priestoru všetkých funkcií z $\mathbb R$ do $\mathbb R$. Tvoria polynómy $1+x$, $x+x^2$, $x^3-1$, $x^3+x$ bázu tohoto priestoru?

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. (Poznámka: Neskôr sa naučíme úlohy takéhoto typu riešiť jednoduchšie, ale táto úloha je riešiteľná už aj pomocou tých vecí, ktoré sme sa učili doteraz.)

Úloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Dokážte (iba použitím definície lineárneho zobrazenia), že zobrazenie $f\colon V\to W$ (kde $V$, $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ je lineárne práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ platí $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$.

Úloha 7.2. Ukážte, že množina symetrických matíc typu $n\times n$ nad poľom $F$ tvorí podpriestor vektorového priestoru $M_{n,n}(F)$.

Úloha 7.3. Zistite, aká je hodnosť danej matice v~závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$

Úloha 7.4. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
$\left(\begin{smallmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{smallmatrix}\right)$

Úloha 7.5. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$

Úloha 7.6.*
Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).

Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt dokážeme neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.