Overenie kolinearity cez determinant

[Martin Sleziak]

Takéto niečo bolo medzi príkladmi.

Dokážte:
a) Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ dvojrozmerného afinného priestoru ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
b) Body $A\equiv(a_1,a_2,a_3)$, $B\equiv(b_1,b_2,b_3)$, $C\equiv(c_1,c_2,c_3)$, $D\equiv(d_1,d_2,d_3)$ trojrozmerného afinného priestoru ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3
\end{pmatrix}=0.
$$
c) Vedeli by ste to zovšeobecniť na $n$-rozmerný priestor a nadrovinu?

[Martin Sleziak]

Poďme sa pozrieť aspoň na 2-rozmerný prípad, t.j. chceme ukázať, že
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0
$$
platí práve vtedy, keď body $A$, $B$, $C$ ležia na jednej priamke.

Riešenie 1
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=
\det
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & b_1-a_1 & c_1-a_1 \\
0 & b_2-a_2 & c_2-a_2
\end{pmatrix}=
\det
\begin{pmatrix}
b_1-a_1 & c_1-a_1 \\
b_2-a_2 & c_2-a_2
\end{pmatrix}
$$
Dostali sme nový determinant, ktorého stĺpce sú presne súradnice vektorov $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
Body $A$, $B$, $C$ ležia na jednej priamke $\Leftrightarrow$ vektory $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ sú lineárne závislé (jeden je násobkom druhého) $\Leftrightarrow$ matica ktorá nám vyšla má lineárne závislé stĺpce $\Leftrightarrow$ determinant je nulový.

Riešenie 2
Body $A$, $B$, $C$ sú nekolineárne práve vtedy, keď tvoria barycentrický súradnicový systém.

Spoiler:

Toto vlastne vieme ak už sme si vybudovali nejakú geometrickú intuíciu o tom, čo znamená že nejaké body sú barycentrický súradnicový systém.

Vieme to však overiť priamo z definície: $A$, $B$, $C$ tvoria b.s.s. $\Leftrightarrow$ $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ tvoria afinný súradnicový systém $\Leftrightarrow$ vektory $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ sú lineárne nezávislé.

Teda používame v podstate to isté, čo v predošlom riešení.

To vlastne znamená, že ľubovoľný bod $X\equiv(x_1,x_2)$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov $A$, $B$, $C$.
Podmienky $c_1+c_2+c_3=1$, $c_1A+c_2B+c_3C=X$ vieme ekvivalentne prepísať ako sústavu
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 & x_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & x_2
\end{array}\right)
$$
Podmienka
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}\ne0
$$
je ekvivalentná s tým, že matica sústavy je regulárna.
Teda ak platí podmienka že determinant je nenulový, tak naozaj pre každé $X$ bude existovať práve jedno riešenie a dostaneme barycentrickú súradnicovú sústavu.

Naopak ak determinant je nulový, tak niektorý stĺpec sa dá dostať ako lineárna kombinácia ostatných dvoch. Bez ujmy na všeobecnosti, nech tretí stĺpec dostaneme ako lineárnu kombináciu prvých dvoch s koeficientami $k_1$, $k_2$.
Ak sa pozrieme na prvý riadok matice, dostaneme $k_1+k_2=1$.
A potom ďalšie dva riadky nám hovoria presne to, že $C=k_1A+k_2B$, teda $C$ je barycentrická kombinácia bodov $A$, $B$ a leží na priamke $AB$.

Poznámka. Tieto dve riešenia sú do značnej miery podobné, druhé som sa snažil písať tak, aby bola jasnejšia súvislosť medzi touto maticou a barycentrickými súradnicami.

Ak náhodou bude užitočná, pridám aj linku na článok na Wikipédii: Collinearity.